Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:
u . v=\frac{1}{2}\left\{|u+v|^{2}-|u|^{2}-|v|^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um espaço vetorial euclidiano, dados dois vetores u e v, vale a fórmula
u \cdot v \;=\;\frac{1}{2}\bigl(\lvert u+v\rvert^{2}-\lvert u\rvert^{2}-\lvert v\rvert^{2}\bigr).
O que vamos usar é a definição de norma em termos do produto escalar, isto é, \lvert w\rvert^{2}=w\cdot w, e a bilinearidade e simetria do produto escalar.

Passo 2

Pela definição de norma,
\lvert u+v\rvert^{2} \;=\;(u+v)\cdot(u+v).
Como o produto escalar é bilinear e comutativo, podemos expandir:
(u+v)\cdot(u+v) = u\cdot u \;+\; u\cdot v \;+\; v\cdot u \;+\; v\cdot v = \lvert u\rvert^{2} + 2\,(u\cdot v) + \lvert v\rvert^{2}.

Passo 3

Reorganizando a igualdade anterior, isolamos o termo u\cdot v. Subtraindo \lvert u\rvert^{2}+\lvert v\rvert^{2} de ambos os lados, obtemos
\lvert u+v\rvert^{2} - \lvert u\rvert^{2} - \lvert v\rvert^{2} = 2\,(u\cdot v).

Passo 4

Basta dividir ambos os lados por 2 para chegar à fórmula desejada:
u\cdot v = \frac{1}{2}\bigl(\lvert u+v\rvert^{2} - \lvert u\rvert^{2} - \lvert v\rvert^{2}\bigr).

Resposta

u \cdot v \;=\;\frac{1}{2}\bigl(\lvert u+v\rvert^{2}-\lvert u\rvert^{2}-\lvert v\rvert^{2}\bigr).

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