- Prove a seguinte proposição: “Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta desse plano, então ela é paralela ao plano”.
Passo 1
O enunciado pede para provar a proposição de geometria espacial: “Se uma reta
não está contida em um plano
e é paralela a uma reta
, então
é paralela ao plano
”. Vamos usar a definição de paralelo entre reta e plano: uma reta que não está contida no plano é paralela a ele se não o intersecta.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
não esteja contida em
e seja paralela a
, mas que intersecte
. Então existe um ponto
Passo 3
Como
, no plano
existe uma única reta
que passa por
e é paralela a
. Logo
e
. Mas temos também
. Pelo axioma das paralelas em um plano estendido, se duas retas são ambas paralelas a uma terceira e compartilham um ponto comum, então coincidem. Assim,
. Isso implica
, contradizendo a hipótese de que
não está contida em
.
Passo 4
Da contradição segue que nossa suposição de
é falsa. Portanto
, e por definição
é paralela ao plano
.
Resposta
A reta
é paralela ao plano
.