1. Prove a seguinte proposição: “Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta desse plano, então ela é paralela ao plano”.

Passo 1

O enunciado pede para provar a proposição de geometria espacial: “Se uma reta l não está contida em um plano Pi e é paralela a uma reta msubsetPi, então l é paralela ao plano Pi”. Vamos usar a definição de paralelo entre reta e plano: uma reta que não está contida no plano é paralela a ele se não o intersecta.

Passo 2

Suponha, por contradição, que l não esteja contida em Pi e seja paralela a msubsetPi, mas que intersecte Pi. Então existe um ponto
Xin lcapPi

Passo 3

Como msubsetPi, no plano Pi existe uma única reta n que passa por X e é paralela a m. Logo nsubsetPi e nparal<=l m. Mas temos também lparal<=l m. Pelo axioma das paralelas em um plano estendido, se duas retas são ambas paralelas a uma terceira e compartilham um ponto comum, então coincidem. Assim, l=n. Isso implica lsubsetPi, contradizendo a hipótese de que l não está contida em Pi.

Passo 4

Da contradição segue que nossa suposição de lcapPineqemptyset é falsa. Portanto lcapPi=emptyset, e por definição l é paralela ao plano Pi.

Resposta

A reta l é paralela ao plano Pi.

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