A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio característico é p(t)=(t-3)^k(t-5)^t, cujo polinômio mínimo é m(t)=(t-3)^2(t-5)^2, multiplicidade algébrica do autovalor 3 é 4 e a ordem da matriz A é 7

Passo 1

O enunciado pede as formas canônicas de Jordan de uma matriz AinC^7times7 cujo polinômio característico é
p(t)=(t-3)^4(t-5)^3,
o polinômio mínimo é
m(t)=(t-3)^2(t-5)^2,
a multiplicidade algébrica de 3 é 4 e a ordem de A é 7.
Conteúdo: teoria de forma de Jordan, relação entre polinômio característico, polinômio mínimo e tamanhos dos blocos de Jordan.

Passo 2

Para cada valor próprio lambda a maior potência (t-lambda)^e que aparece em m(t) é o tamanho máximo de bloco de Jordan para lambda.
Aqui temos:
degt-3m(t)=2, degt-5m(t)=2,
logo o maior bloco de Jordan para cada um dos autovalores 3 e 5 tem tamanho 2.

Passo 3

A soma das dimensões das cadeias de Jordan para lambda=3 deve ser a multiplicidade algébrica 4, e cada bloco tem tamanho <=2 com pelo menos um bloco de tamanho 2.
Partições de 4 em partes <=2 que incluam ao menos um 2:
  • 2+2,
  • 2+1+1.

Passo 4

Para lambda=5, a soma das dimensões das cadeias de Jordan é a multiplicidade algébrica 3, cada bloco tem tamanho <=2 e deve haver pelo menos um bloco de tamanho 2.
A única partição é
2+1

Passo 5

Cada forma de Jordan de A é dada pela reunião dos blocos de Jordan para lambda=3 e lambda=5. Assim as únicas possibilidades (sem contar ordem dos blocos) são:

Resposta

  1. Blocos para lambda=3: 2,2; para lambda=5: 2,1.
    Forma de Jordan:
    J2(3),oplus,J2(3),oplus,J2(5),oplus,J1(5)
  2. Blocos para lambda=3: 2,1,1; para lambda=5: 2,1.
    Forma de Jordan:
    J2(3),oplus,J1(3),oplus,J1(3),oplus,J2(5),oplus,J1(5)

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