Prove o seguinte resultado, conhecido como teorema do confronto: se f: R^n R, g: R^n R e h: R^n R são funções tais que g(x) <= f(x) <= h(x), para todo x in R^n e
lim x p g(x)=L=lim x p h(x)
Então
lim x p f(x)=L
Dica: Sabemos que os limites de g e h quando x tende para p são iguais a L. Portanto, dado epsilon>0, existe de0 tal que 0<|x-p| implica |g(x)-L|, ou seja,
L-epsilon
Também existe um número de0 tal que 0<|x-p| implica
L-epsilon
Agora basta tomar de e usar a condição g(x) <= f(x) <= h(x).
N.B. Esse teorema vale mesmo quando g(x) <= f(x) <= h(x) apenas para os pontos x in Br(p), em que r é um número real positivo qualquer. Esse fato é evidente pela demonstração que sugerimos acima.

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove o Teorema do Confronto: se temos três funções f, g e h de R^n em R tais que g(x)<= f(x)<= h(x) para todo x próximo de p e limxto pg(x)=L=limxto ph(x), então queremos mostrar que limxto pf(x)=L. O que vamos usar é a definição varepsilon- de de limite.

Passo 2

Como limxto pg(x)=L, dado varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que 0<|x-p|, valha
|g(x)-L|
que equivale a L-varepsilon.
De modo análogo, como limxto ph(x)=L, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-p|, tenhamos
|h(x)-L|
ou seja L-varepsilon.

Passo 3

Agora tome de. Se 0<|x-p|, então ao mesmo tempo L-varepsilon, por hipótese de confronto.
Isso mostra que sempre que 0<|x-p| vale
|f(x)-L|
e, pela definição, concluímos que limxto pf(x)=L.

Resposta

limxto pf(x)=L

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