Prove o seguinte resultado, conhecido como teorema do confronto: se
,
e
são funções tais que
, para todo
e
Então
Dica: Sabemos que os limites de
e
quando
tende para
são iguais a
. Portanto, dado
, existe
tal que
implica
, ou seja,
Também existe um número
tal que
implica
Agora basta tomar
e usar a condição
.
N.B. Esse teorema vale mesmo quando
apenas para os pontos
, em que
é um número real positivo qualquer. Esse fato é evidente pela demonstração que sugerimos acima.
N.B. Esse teorema vale mesmo quando
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove o Teorema do Confronto: se temos três funções f, g e h de
em
tais que
para todo
próximo de
e
, então queremos mostrar que
. O que vamos usar é a definição
-
de limite.
Passo 2
Como
, dado
existe
tal que, sempre que
, valha
que equivale a
.
De modo análogo, como , existe
tal que, sempre que
, tenhamos
De modo análogo, como
ou seja
.
Passo 3
Agora tome
. Se
, então ao mesmo tempo
, por hipótese de confronto.
Isso mostra que sempre que vale
Isso mostra que sempre que
e, pela definição, concluímos que
.