Prove a seguinte “versão complexa” da regra de L’Hôpital: Sejam f e g funções diferenciáveis em z_{0}, \operatorname{com} f\left(z_{0}\right)=g\left(z_{0}\right)=0. Se g^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0, então
Uma consequência prática e muito útil desta definição é que podemos escrever a função f perto de z_{0} como uma parte linear mais um “erro” que vira zero ao dividir por z-z_{0}. Vamos construir esse erro explicitamente no passo seguinte.
Para z\neq z_{0} podemos dividir as duas expressões por g(z) (note que para z próximo de z_{0} iremos garantir que g(z)\neq 0; isso é tratado no passo seguinte) e, cancelando o fator comum (z-z_{0}), obtemos a identidade
portanto os termos que aparecem somando f^{\prime}\left(z_{0}\right) e g^{\prime}\left(z_{0}\right) na fração tendem a zero. Para aplicar a propriedade padrão de limites de quociente, precisamos garantir que o denominador não se anule no limite; já sabemos que g^{\prime}\left(z_{0}\right)\neq 0, então podemos controlar r_g para que o denominador fique afastado de zero numa vizinhança de z_{0}:
Como \lim_{z\to z_{0}} r_g(z)=0, existe \delta>0 tal que, para 0<|z-z_{0}|<\delta, temos
logo o denominador não se anula nessa vizinhança e a expressão do passo anterior está bem definida.
Passo 6
Com o denominador afastado de zero e sabendo que r_f(z)\to 0 e r_g(z)\to 0, aplicamos a propriedade limite (se a_n\to a e b_n\to b com b\neq 0 então a_n/b_n\to a/b) para concluir