Prove a seguinte “versão complexa” da regra de L’Hôpital: Sejam f e g funções diferenciáveis em z_{0}, \operatorname{com} f\left(z_{0}\right)=g\left(z_{0}\right)=0. Se g^{\prime}\left(z_{0}\right) \neq 0, então
\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)} .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • São dadas duas funções f e g que são diferenciáveis em z_{0}.
  • Sabe-se que f\left(z_{0}\right)=0 e g\left(z_{0}\right)=0.
  • Sabe-se que g^{\prime}\left(z_{0}\right)\neq 0.
  • O que devemos provar é a igualdade de limites
\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)}.

Passo 2

Relembrando o que significa "diferenciável em z_{0}" (explicação didática): dizer que f é diferenciável em z_{0} significa que o limite
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}
existe. Como aqui f\left(z_{0}\right)=0, isso equivale a
f^{\prime}\left(z_{0}\right)=\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)}{z-z_{0}}.
Uma consequência prática e muito útil desta definição é que podemos escrever a função f perto de z_{0} como uma parte linear mais um “erro” que vira zero ao dividir por z-z_{0}. Vamos construir esse erro explicitamente no passo seguinte.

Passo 3

Definimos, para z\neq z_{0},
r_f(z):=\frac{f(z)-f^{\prime}\left(z_{0}\right)(z-z_{0})}{z-z_{0}} \quad\text{e}\quad r_g(z):=\frac{g(z)-g^{\prime}\left(z_{0}\right)(z-z_{0})}{z-z_{0}}.
Por diferenciabilidade de f e de g em z_{0} (e usando que f(z_{0})=g(z_{0})=0), temos
\lim_{z\to z_{0}} r_f(z)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{z\to z_{0}} r_g(z)=0.
Isso é apenas reescrever a definição do derivado como “quociente de diferença = derivada + termo que vai para zero”.

Passo 4

Usando as definições dos r's, escrevemos f e g em forma de aproximação linear:
f(z)=f^{\prime}\left(z_{0}\right)(z-z_{0})+r_f(z)(z-z_{0}),
g(z)=g^{\prime}\left(z_{0}\right)(z-z_{0})+r_g(z)(z-z_{0}).
Para z\neq z_{0} podemos dividir as duas expressões por g(z) (note que para z próximo de z_{0} iremos garantir que g(z)\neq 0; isso é tratado no passo seguinte) e, cancelando o fator comum (z-z_{0}), obtemos a identidade
\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)+r_f(z)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)+r_g(z)}.

Passo 5

Agora vamos analisar o limite quando z\to z_{0} da expressão do passo anterior. Sabemos que
\lim_{z\to z_{0}} r_f(z)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{z\to z_{0}} r_g(z)=0,
portanto os termos que aparecem somando f^{\prime}\left(z_{0}\right) e g^{\prime}\left(z_{0}\right) na fração tendem a zero. Para aplicar a propriedade padrão de limites de quociente, precisamos garantir que o denominador não se anule no limite; já sabemos que g^{\prime}\left(z_{0}\right)\neq 0, então podemos controlar r_g para que o denominador fique afastado de zero numa vizinhança de z_{0}:
Como \lim_{z\to z_{0}} r_g(z)=0, existe \delta>0 tal que, para 0<|z-z_{0}|<\delta, temos
|r_g(z)|<\frac{|g^{\prime}\left(z_{0}\right)|}{2}.
Para tais z vale a desigualdade
\bigl|g^{\prime}\left(z_{0}\right)+r_g(z)\bigr|\ge \bigl|g^{\prime}\left(z_{0}\right)\bigr|-|r_g(z)|>\frac{|g^{\prime}\left(z_{0}\right)|}{2}>0,
logo o denominador não se anula nessa vizinhança e a expressão do passo anterior está bem definida.

Passo 6

Com o denominador afastado de zero e sabendo que r_f(z)\to 0 e r_g(z)\to 0, aplicamos a propriedade limite (se a_n\to a e b_n\to b com b\neq 0 então a_n/b_n\to a/b) para concluir
\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)} = \lim_{z\to z_{0}} \frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)+r_f(z)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)+r_g(z)} = \frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)}.
Isso encerra a prova, porque mostramos que a razão das funções tende ao quociente dos seus derivadas em z_{0}.

Resposta

\lim_{z\to z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{\prime}\left(z_{0}\right)}{g^{\prime}\left(z_{0}\right)}

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