Sejam z=2+3 i e w=4-3 i. Coloque os seguintes números complexos na forma algébrica:
(-1+i)^{7}.

Passo 1

O enunciado fornece os complexos z=2+3i e w=4-3i e pede, especificamente, para escrever o número complexo (-1+i)^{7} na forma algébrica (parte real + parte imaginária).
Informações relevantes dadas:
\text{número a ser potenciado: }(-1+i).ú

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (sem pular etapas). A maneira mais direta aqui é transformar -1+i para a forma polar (módulo e argumento), aplicar a fórmula de De Moivre para potências e depois voltar à forma algébrica.
Conceitos usados:
  • O módulo de um complexo x+iy é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ele representa “o comprimento” do vetor no plano complexo.
  • O argumento \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor (x,y); podemos obter \theta por \theta=\operatorname{atan2}(y,x) (atenção ao quadrante!).
  • A forma polar é x+iy=r(\cos\theta + i\sin\theta), que também escrevemos como r e^{i\theta}.
  • A fórmula de De Moivre diz que (r e^{i\theta})^{n}=r^{n} e^{i n\theta}. Isso facilita muito calcular potências.

Passo 3

Calculemos o módulo de -1+i. Aqui x=-1 e y=1.
r=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Agora o argumento \theta. A razão é \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1}=-1. O arco cujo tangente é -1 é -\dfrac{\pi}{4}, mas o ponto (-1,1) está no segundo quadrante (x negativo, y positivo). Então devemos escolher o ângulo no segundo quadrante com tangente -1, que é
\theta=\dfrac{3\pi}{4}.
(Verificação rápida: \cos(3\pi/4)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin(3\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, o par (\cos,\sin) tem x negativo e y positivo, compatível.)

Passo 5

Escrevemos -1+i na forma polar:
-1+i=\sqrt{2}\big(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\big)=\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}.

Passo 6

Aplicamos De Moivre para elevar à sétima potência:
(-1+i)^{7}=\big(\sqrt{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\big)^{7}=(\sqrt{2})^{7} e^{i\frac{21\pi}{4}}.
Calculemos (\sqrt{2})^{7}:
(\sqrt{2})^{7}=2^{7/2}.
Agora simplificamos o ângulo \dfrac{21\pi}{4} subtraindo múltiplos de 2\pi para obter um ângulo equivalente mais simples. Subtraindo 4\pi=\dfrac{16\pi}{4} obtemos
\frac{21\pi}{4}-\frac{16\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Portanto
e^{i\frac{21\pi}{4}}=e^{i\frac{5\pi}{4}}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}.

Passo 7

Conhecemos os valores trigonométricos:
\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Assim
(-1+i)^{7}=2^{7/2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 8

Agora multiplicamos e simplificamos os fatores em potências de 2. Primeiro observe:
2^{7/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{7/2}\cdot\frac{2^{1/2}}{2}= \frac{2^{(7/2+1/2)}}{2}=\frac{2^{4}}{2}=\frac{16}{2}=8.
Como havia sinais negativos,
(-1+i)^{7}=-8-8i.

Resposta

-8-8i

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