Sejam
e
. Coloque os seguintes números complexos na forma algébrica:
.
Passo 1
O enunciado fornece os complexos
e
e pede, especificamente, para escrever o número complexo
na forma algébrica (parte real + parte imaginária).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar (sem pular etapas). A maneira mais direta aqui é transformar
para a forma polar (módulo e argumento), aplicar a fórmula de De Moivre para potências e depois voltar à forma algébrica.
Conceitos usados:
Conceitos usados:
- O módulo de um complexo
é . Ele representa “o comprimento” do vetor no plano complexo. - O argumento
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor ; podemos obter por (atenção ao quadrante!). - A forma polar é
, que também escrevemos como . - A fórmula de De Moivre diz que
. Isso facilita muito calcular potências.
Passo 3
Calculemos o módulo de
. Aqui
e
.
Passo 4
Agora o argumento
. A razão é
. O arco cujo tangente é
é
, mas o ponto
está no segundo quadrante (x negativo, y positivo). Então devemos escolher o ângulo no segundo quadrante com tangente
, que é
(Verificação rápida:
,
, o par
tem x negativo e y positivo, compatível.)
Passo 5
Escrevemos
na forma polar:
Passo 6
Aplicamos De Moivre para elevar à sétima potência:
Calculemos
:
Agora simplificamos o ângulo
subtraindo múltiplos de
para obter um ângulo equivalente mais simples. Subtraindo
obtemos
Portanto
Passo 7
Conhecemos os valores trigonométricos:
Assim
Passo 8
Agora multiplicamos e simplificamos os fatores em potências de
. Primeiro observe:
Como havia sinais negativos,