Sendo A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], calcule:
a) A^{2}
b) A^{3}
c) A^{5}
d) A^{n}, para n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede as potências A^2, A^3, A^5 e a forma geral A^n. O conteúdo envolve multiplicação de matrizes 2×2 e uso do binômio de Newton para matrizes nilpotentes.]

Passo 2

Para calcular A^2, multiplicamos A por si mesma:
A^2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 1\cdot0 & 1\cdot1 + 1\cdot1 \\[6pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para A^3, usamos A^3 = A^2 \,A:
A^3 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para A^5, podemos usar A^5 = A^2\,A^3:
A^5 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 5 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para A^n, note que podemos escrever
A = I + N, \quad N = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix},
onde N^2 = 0. Pelo binômio de Newton para matrizes:
A^n = (I+N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}N^k = I + nN = \begin{pmatrix}1 & n \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

a) \displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
b) \displaystyle A^3 = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
c) \displaystyle A^5 = \begin{pmatrix}1 & 5 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
d) \displaystyle A^n = \begin{pmatrix}1 & n \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{N}.]

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