Prove as seguintes afirmações:
Se x \cdot y=x \cdot z e x \neq 0, então y=z.

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de cancelamento na multiplicação em um corpo (ou em qualquer estrutura em que todo elemento não nulo tenha inverso). Temos as hipóteses
x\cdot y = x\cdot z \quad\text{e}\quad x \neq 0.
Para mostrar que y = z, vamos usar os axiomas de multiplicação: existência de elemento neutro 1, associatividade e existência de inverso multiplicativo para x.

Passo 2

Como x \neq 0, existe seu inverso multiplicativo, que chamamos de x^{-1}, satisfazendo
x^{-1}\cdot x = 1.
Multiplicamos a equação x\cdot y = x\cdot z à esquerda por x^{-1}, obtendo
x^{-1}\cdot (x\cdot y) \;=\; x^{-1}\cdot (x\cdot z).

Passo 3

Pela associatividade da multiplicação,
x^{-1}\cdot (x\cdot y) = (x^{-1}\cdot x)\cdot y = 1\cdot y = y,
e de modo análogo
x^{-1}\cdot (x\cdot z) = (x^{-1}\cdot x)\cdot z = 1\cdot z = z.

Passo 4

Como as duas expressões são iguais, concluímos
y = z.

Resposta

y = z

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