Prove que
. Conclua daí que
.
Passo 1
Estamos num anel (ou corpo) com as operações
e
. Pela definição de inverso aditivo, para cada
existe um único elemento
tal que
Queremos provar que
ou seja, que o inverso aditivo de
é justamente
. Em seguida, usaremos esse resultado para mostrar que
Passo 2
Pela definição de inverso aditivo,
é o único elemento que somado a
dá zero:
Mas também sabemos que
Portanto, tanto
quanto
são soluções da equação
Como o inverso aditivo é único, concluímos
Passo 3
Use
no resultado anterior:
Por outro lado, da propriedade de distributividade e do fato de
, multiplicamos ambos os lados por
:
Pela distributividade,
Mas
, logo
Isto diz que
é o inverso aditivo de
. E sabemos que esse inverso é
. Portanto