Prove que -(-x)=x. Conclua daí que (-1)(-1)=1.

Passo 1

Estamos num anel (ou corpo) com as operações + e \cdot. Pela definição de inverso aditivo, para cada x existe um único elemento -x tal que
x + (-x) = 0.
Queremos provar que
-(-x) = x
ou seja, que o inverso aditivo de -x é justamente x. Em seguida, usaremos esse resultado para mostrar que
(-1)\,(-1)=1.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, -(-x) é o único elemento que somado a -x dá zero:
(-x) + \bigl(-(-x)\bigr) = 0.
Mas também sabemos que
x + (-x) = 0.
Portanto, tanto x quanto -(-x) são soluções da equação
y + (-x) = 0.
Como o inverso aditivo é único, concluímos
-(-x) = x.

Passo 3

Use x=1 no resultado anterior:
-(-1)=1.
Por outro lado, da propriedade de distributividade e do fato de 1+(-1)=0, multiplicamos ambos os lados por -1:
(-1)\bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1)\cdot 0 = 0.
Pela distributividade,
(-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-1) = 0.
Mas (-1)\cdot1=-1, logo
-1 + (-1)\,(-1) = 0.
Isto diz que (-1)\,(-1) é o inverso aditivo de -1. E sabemos que esse inverso é 1. Portanto
(-1)\,(-1)=1.

Resposta

-(-x)=x e (-1)(-1)=1.

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