Mostre que x+(-1 \cdot x)=0 para todo x \in \mathbb{R}. Deduza daí que -x=-1 \cdot x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{R} (que é um corpo), vale
x + \bigl(-1 \cdot x\bigr) = 0
para todo x. Em seguida, devemos usar essa igualdade e a unicidade do inverso aditivo para concluir que
-\,x = -1 \cdot x.
Os axiomas que vamos usar são:
  • Existência do inverso aditivo de 1, isto é, 1 + (-1) = 0.
  • Distributividade da multiplicação sobre a adição.
  • Propriedade de que 0 \cdot x = 0 e 1 \cdot x = x.
  • Unicidade do inverso aditivo.

Passo 2

Pelo axioma do inverso aditivo em \mathbb{R}, sabemos que
1 + (-1) = 0.

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por x em ambos os lados. Como \mathbb{R} é fechado para multiplicação,
(1 + (-1)) \cdot x = 0 \cdot x.

Passo 4

Aplicamos a distributividade da multiplicação sobre a adição no membro esquerdo e usamos 0\cdot x = 0 no direito:
1\cdot x + (-1)\cdot x = 0.

Passo 5

Como 1\cdot x = x, a expressão fica
x + \bigl(-1\cdot x\bigr) = 0,
valendo para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Pela definição de inverso aditivo, -x é o único elemento em \mathbb{R} tal que
x + (-x) = 0.
Já mostramos que -1\cdot x satisfaz exatamente essa mesma propriedade. Da unicidade do inverso aditivo segue que
-\,x = -1 \cdot x.

Resposta

-\,x = -1 \cdot x.

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