Mostre que
para todo
. Deduza daí que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
(que é um corpo), vale
para todo
. Em seguida, devemos usar essa igualdade e a unicidade do inverso aditivo para concluir que
Os axiomas que vamos usar são:
- Existência do inverso aditivo de
, isto é, . - Distributividade da multiplicação sobre a adição.
- Propriedade de que
e . - Unicidade do inverso aditivo.
Passo 2
Pelo axioma do inverso aditivo em
, sabemos que
Passo 3
Multiplicamos essa igualdade por
em ambos os lados. Como
é fechado para multiplicação,
Passo 4
Aplicamos a distributividade da multiplicação sobre a adição no membro esquerdo e usamos
no direito:
Passo 5
Como
, a expressão fica
valendo para todo
.
Passo 6
Pela definição de inverso aditivo,
é o único elemento em
tal que
Já mostramos que
satisfaz exatamente essa mesma propriedade. Da unicidade do inverso aditivo segue que