Prove que se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado (como
), sempre que
é um número real positivo, seu inverso multiplicativo
também é positivo. Para isso vamos usar os axiomas de corpo ordenado:
-
. - Se
e então . - Se
e então . -
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
mas que
não seja positivo. Como
, a única possibilidade contrária a
é
Passo 3
Se
e
, pelo axioma do corpo ordenado, o produto
deve ser negativo. Logo
Passo 4
Por outro lado, da propriedade de inverso multiplicativo sabemos que
e como
pelo axioma 1, teríamos simultaneamente
e
o que é uma contradição.
Passo 5
Da contradição segue que nossa suposição
está errada, e portanto deve valer
Resposta
Portanto, se
então
.