Prove que se x \in \mathbb{R}^{+}, então x^{-1} \in \mathbb{R}^{+}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num corpo ordenado (como \mathbb{R}), sempre que x é um número real positivo, seu inverso multiplicativo x^{-1} também é positivo. Para isso vamos usar os axiomas de corpo ordenado:
  1. 1>0.
  2. Se a>0 e b>0 então ab>0.
  3. Se a>0 e b<0 então ab<0.
  4. x\cdot x^{-1}=1.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que x\in\mathbb{R}^+ mas que x^{-1} não seja positivo. Como x^{-1}\neq0, a única possibilidade contrária a x^{-1}>0 é
x^{-1}<0.

Passo 3

Se x>0 e x^{-1}<0, pelo axioma do corpo ordenado, o produto
x\cdot x^{-1}
deve ser negativo. Logo
x\cdot x^{-1}<0.

Passo 4

Por outro lado, da propriedade de inverso multiplicativo sabemos que
x\cdot x^{-1}=1,
e como 1>0 pelo axioma 1, teríamos simultaneamente 1<0 e 1>0, o que é uma contradição.

Passo 5

Da contradição segue que nossa suposição x^{-1}<0 está errada, e portanto deve valer
x^{-1}>0.

Resposta

Portanto, se x\in\mathbb{R}^+ então x^{-1}\in\mathbb{R}^+.

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