Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
\frac{d \hat{a}_{r}}{d \varphi}=\hat{a}_{ phi}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que
\frac{d \hat{a}_{r}}{d \varphi}=\hat{a}_{\varphi}.
Informações dadas / relevantes (tudo que vou usar):
  • \hat{a}_{r} e \hat{a}_{\varphi} são os versores em coordenadas polares (plano).
  • Posso representar esses versores em função dos versores cartesianoss fixos \hat{i} e \hat{j}.
    Não se resolve nada ainda; só deixei claro o objetivo e as informações que usarei.

Passo 2

Definição explícita (representação em base cartesiana). Pelo significado geométrico dos versores polares, para um ângulo \varphi medido a partir do eixo x vale:
\hat{a}_{r}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j},
\hat{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}.
Explicação didática: \hat{a}_{r} aponta radialmente para fora, formando ângulo \varphi com o eixo x, por isso seus componentes são \cos\varphi (projeção em x) e \sin\varphi (projeção em y). \hat{a}_{\varphi} é o versor tangencial no sentido de aumento de \varphi; é ortogonal a \hat{a}_{r} e tem componente em x negativa quando \varphi pequeno, daí -\sin\varphi e \cos\varphi.

Passo 3

Derivar \hat{a}_{r} em relação a \varphi componente a componente. Usarei as derivadas elementares \dfrac{d}{d\varphi}\cos\varphi=-\sin\varphi e \dfrac{d}{d\varphi}\sin\varphi=\cos\varphi. Como \hat{i} e \hat{j} são vetores fixos (não dependem de \varphi), a derivada é:
\frac{d \hat{a}_{r}}{d \varphi} = \frac{d}{d\varphi}\bigl(\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j}\bigr) = \bigl(-\sin\varphi\bigr)\hat{i}+\bigl(\cos\varphi\bigr)\hat{j}.

Passo 4

Comparar o resultado com a expressão de \hat{a}_{\varphi} dada no Passo 2. Observa-se que
\bigl(-\sin\varphi\bigr)\hat{i}+\bigl(\cos\varphi\bigr)\hat{j}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}=\hat{a}_{\varphi}.
Portanto, concluímos que
\frac{d \hat{a}_{r}}{d \varphi}=\hat{a}_{\varphi}.
Interpretação geométrica breve: ao aumentar \varphi o versor radial gira; sua velocidade angular de variação é um vetor tangente de módulo 1 e direção \hat{a}_{\varphi}, por isso a derivada é exatamente \hat{a}_{\varphi}.

Resposta

\frac{d \hat{a}_{r}}{d \varphi}=\hat{a}_{\varphi}

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