Prove as seguintes derivadas dos versores dos sistemas de coordenadas curvilíneas
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
Informações dadas / relevantes (tudo que vou usar):
-
e são os versores em coordenadas polares (plano). - Posso representar esses versores em função dos versores cartesianoss fixos
e .
Não se resolve nada ainda; só deixei claro o objetivo e as informações que usarei.
Passo 2
Definição explícita (representação em base cartesiana). Pelo significado geométrico dos versores polares, para um ângulo
medido a partir do eixo
vale:
Explicação didática:
aponta radialmente para fora, formando ângulo
com o eixo
, por isso seus componentes são
(projeção em
) e
(projeção em
).
é o versor tangencial no sentido de aumento de
; é ortogonal a
e tem componente em
negativa quando
pequeno, daí
e
.
Passo 3
Derivar
em relação a
componente a componente. Usarei as derivadas elementares
e
. Como
e
são vetores fixos (não dependem de
), a derivada é:
Passo 4
Comparar o resultado com a expressão de
dada no Passo 2. Observa-se que
Portanto, concluímos que
Interpretação geométrica breve: ao aumentar
o versor radial gira; sua velocidade angular de variação é um vetor tangente de módulo
e direção
, por isso a derivada é exatamente
.