Prove as seguintes desigualdades:
3 n^{2}>3 n+5, para todo n \geq 2;

Passo 1

O enunciado pede para provar que
3n^{2} > 3n + 5
para todo inteiro n \ge 2.
Aqui o conteúdo é manipulação de desigualdades e uso de estimativas simples (não precisamos de indução, basta reorganizar e comparar termos).

Passo 2

Começamos levando tudo para um único lado da desigualdade:
3n^{2} > 3n + 5 \quad\Longleftrightarrow\quad 3n^{2} - 3n - 5 > 0.

Passo 3

Observe que podemos escrever
3n^{2} - 3n - 5 = 3\,n(n-1) - 5.
Para n\ge 2 temos n(n-1)\ge 2\cdot1=2. Logo
3\,n(n-1)\;\ge\;3\cdot2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad 3\,n(n-1)-5 \;\ge\;6-5 = 1.
Como 1>0, concluímos que
3n^{2} - 3n - 5 > 0
sempre que n\ge 2.

Passo 4

Isso mostra exatamente que para todo inteiro n\ge 2 vale
3n^{2} > 3n + 5.

Resposta

A desigualdade está provada, pois para n\ge2 temos 3n^{2}-3n-5\ge1>0, ou seja,
3n^{2} > 3n + 5.

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