Questão 8 Nos itens abaixo, use demonstração por indução para provar que são válidas as afirmações feitas, onde n é um número inteiro.
\left(1+\frac{1}{1}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{3}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1, \forall n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
\prod_{i=1}^{n}\Bigl(1+\frac{1}{i}\Bigr)=n+1
para todo inteiro n\ge1. O conteúdo é o Princípio da Indução Matemática.

Passo 2

Base da indução n=1.
\prod_{i=1}^{1}\Bigl(1+\frac{1}{i}\Bigr) =1+\frac{1}{1} =2
e de fato 1+1=2. Portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k\ge1, valha
\prod_{i=1}^{k}\Bigl(1+\frac{1}{i}\Bigr)=k+1.

Passo 4

Passo indutivo: mostrar que a propriedade vale para n=k+1.
\prod_{i=1}^{k+1}\Bigl(1+\frac{1}{i}\Bigr) =\Bigl(\prod_{i=1}^{k}\bigl(1+\tfrac{1}{i}\bigr)\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(1+\tfrac{1}{k+1}\Bigr).
Pela hipótese isso é
(k+1)\cdot\Bigl(1+\tfrac{1}{k+1}\Bigr) =(k+1)\cdot\frac{k+2}{k+1} =k+2.
Logo a fórmula vale também para n=k+1.

Passo 5

Pelo Princípio da Indução, concluímos que
\prod_{i=1}^{n}\Bigl(1+\frac{1}{i}\Bigr)=n+1
para todo inteiro n\ge1.

Resposta

A identidade está demonstrada: \prod_{i=1}^{n}\bigl(1+\tfrac{1}{i}\bigr)=n+1 para todo n\ge1.

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