Suponha que f seja uma função derivável em R, satisfazendo f(a+b)=f(a)+ f(b)+5 a b, forall a, b in R. Se lim h mapsto 0 f(h)h=3, determine f(0) e f^prime(x).

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é derivável e satisfaz a identidade funcional
f(a+b)=f(a)+f(b)+5ab, forall a,binR,
além de sabermos que
limhto0f(h)h=3
Queremos encontrar f(0) e a expressão de f'(x).

Passo 2

Para achar f(0), basta tomar a=b=0 na identidade:
f(0+0)=f(0)+f(0)+5cdot0cdot0 ;Longrightarrow; f(0)=2f(0) ;Longrightarrow; f(0)=0

Passo 3

Para determinar f'(x), usamos a definição de derivada em torno de um ponto genérico a:
f'(a) =limhto0f(a+h)-f(a)h
Pela identidade funcional,
f(a+h)=f(a)+f(h)+5a,h,
então
f(a+h)-f(a)h =f(h)h+5a
Fazendo hto0 vem
f'(a) =limhto0f(h)h+5a =3+5a,
pois limhto0tfracf(h)h=3. Logo,
f'(x)=3+5x

Resposta

f(0)=0 f'(x)=3+5x

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