Resolva as seguintes desigualdades:
Passo 1
O que o problema pede: resolver a desigualdade
.\n
Informações relevantes que temos do enunciado (e que precisamos explicitar para poder resolver): e
estão definidas para todo
. Também usaremos as faixas usuais (ramos principais):
Informações relevantes que temos do enunciado (e que precisamos explicitar para poder resolver):
Passo 2
Vamos relacionar as duas funções com uma identidade útil. Seja
. Por definição temos
e
. Seja
. Por definição temos
e
. Agora note que
Pelo caráter inverso da função
(única no seu ramo principal), a igualdade
e
implica
Substituindo
e
pelas funções inversas obtemos a identidade válida para todo
:
(Neste passo eu mostrei passo a passo por que a soma vale
: definições de arco, uso da identidade
e unicidade do ramo principal.)
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior, reescrevo a desigualdade:
substituindo
, fica
Passo 4
Agrupando termos semelhantes temos
e, dividindo por
,
Aqui é importante saber que
é estritamente crescente no seu domínio
. Isso vem do fato de que
é estritamente crescente em
e a função inversa preserva a ordem. Portanto podemos aplicar a função tangente (monótona crescente) aos dois lados da desigualdade sem inverter o sinal:
E sabemos que
. Assim obtemos
Passo 5
Verificação rápida das bordas e consistência: quando
temos
, portanto a desigualdade estrita não vale em
. Para
a desigualdade vale, e para
ela não vale (por exemplo em
temos
). Logo a solução está correta e completa.