Resolva as seguintes desigualdades:
\operatorname{arctg} x>\operatorname{arccotg} x

Passo 1

O que o problema pede: resolver a desigualdade \operatorname{arctg} x>\operatorname{arccotg} x.\n
Informações relevantes que temos do enunciado (e que precisamos explicitar para poder resolver): \operatorname{arctg} x e \operatorname{arccotg} x estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Também usaremos as faixas usuais (ramos principais):
\operatorname{arctg} x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\qquad \operatorname{arccotg} x\in\left(0,\pi\right).

Passo 2

Vamos relacionar as duas funções com uma identidade útil. Seja \theta=\operatorname{arctg} x. Por definição temos \tan\theta=x e \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Seja \varphi=\operatorname{arccotg} x. Por definição temos \cot\varphi=x e \varphi\in(0,\pi). Agora note que
\cot\varphi=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\varphi\right)=x.
Pelo caráter inverso da função \operatorname{arctg} (única no seu ramo principal), a igualdade \tan\theta=x e \tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\varphi\right)=x implica
\theta=\tfrac{\pi}{2}-\varphi.
Substituindo \theta e \varphi pelas funções inversas obtemos a identidade válida para todo x\in\mathbb{R}:
\operatorname{arctg} x+\operatorname{arccotg} x=\tfrac{\pi}{2}.
(Neste passo eu mostrei passo a passo por que a soma vale \tfrac{\pi}{2}: definições de arco, uso da identidade \cot\varphi=\tan(\tfrac{\pi}{2}-\varphi) e unicidade do ramo principal.)

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior, reescrevo a desigualdade:
\operatorname{arctg} x>\operatorname{arccotg} x
substituindo \operatorname{arccotg} x=\tfrac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x, fica
\operatorname{arctg} x>\tfrac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes temos
2\,\operatorname{arctg} x>\tfrac{\pi}{2}
e, dividindo por 2,
\operatorname{arctg} x>\tfrac{\pi}{4}.
Aqui é importante saber que \operatorname{arctg} é estritamente crescente no seu domínio \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Isso vem do fato de que \tan é estritamente crescente em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e a função inversa preserva a ordem. Portanto podemos aplicar a função tangente (monótona crescente) aos dois lados da desigualdade sem inverter o sinal:
x=\tan\big(\operatorname{arctg} x\big)>\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).
E sabemos que \tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1. Assim obtemos
x>1.

Passo 5

Verificação rápida das bordas e consistência: quando x=1 temos \operatorname{arctg}1=\operatorname{arccotg}1=\tfrac{\pi}{4}, portanto a desigualdade estrita não vale em x=1. Para x>1 a desigualdade vale, e para x<1 ela não vale (por exemplo em x=0 temos 0<\tfrac{\pi}{2}). Logo a solução está correta e completa.

Resposta

(1,\infty)

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