Prove as seguintes identidades.
sec ^2 x cdot cossec^2 x=sec ^2 x+cossec^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que . Para isso, vamos usar algumas definições e identidades básicas de trigonometria, como as fórmulas das funções secante e cosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções secante e cosecante:
  • sec x = dfrac1cos x
Então, ao elevarmos ao quadrado, temos:
  • cosec x = dfrac1sin x

Passo 3

Agora, vamos multiplicar sec^2 x por :

Passo 4

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
tan x = dfracsin xcos x e cot x = dfraccos xsin x
Elevando ao quadrado:
tan^2 x = dfracsin^2 xcos^2 x e cot^2 x = dfraccos^2 xsin^2 x

Passo 5

Multiplicando tan^2 x por cot^2 x:
tan^2 x cdot cot^2 x = dfracsin^2 xcos^2 x cdot dfraccos^2 xsin^2 x = 1
Isso nos mostra que:
(tan^2 x) cdot (cot^2 x) = 1

Passo 6

Voltando à expressão que obtivemos no Passo 3:
Sabemos que:
Multiplicando essas duas identidades:
Expande aí:
dfrac1cos^2 x cdot sin^2 x = sec^2 x cdot cosec^2 x
Sabemos pelo Passo 5 que sec^2 x = 1 + tan^2 x e cosec^2 x = 1 + cot^2 x , então:
sec^2 x cdot cosec^2 x = (1 + tan^2 x)(1 + cot^2 x)
Mas lembramos que = 1 + tan^2 x + cot^2 x + tan^2 x cdot cot^2 x e tan^2 x cdot cot^2 x = 1, que são as expressões de = 1 + tan^2 x + cot^2 x + 1 = 2 + tan^2 x + cot^2 x e respectivamente. Substituindo de volta:

Resposta

Provar a identidade está feito! Assim, mostramos que é verdadeira.

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