Prove as seguintes identidades.
sen^4 x-cos ^4 x=2 sen^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a identidade trigonométrica:
sin^4 x - cos^4 x = 2 sin^2 x - 1
Vamos usar conhecimentos de álgebra e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^4 x significa (sin x)^4 e cos^4 x é (cos x)^4. A expressão que temos é a diferença desses dois termos.

Passo 3

Vamos fatorar a expressão sin^4 x - cos^4 x. Podemos usar a fórmula de diferença de quadrados: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Aqui, a = sin^2 x e b = cos^2 x, então:
sin^4 x - cos^4 x = (sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)

Passo 4

Sabemos que sin^2 x + cos^2 x = 1 pela identidade trigonométrica fundamental. Substituindo na expressão:
(sin^2 x - cos^2 x)(1) = sin^2 x - cos^2 x

Passo 5

Agora, para simplificar sin^2 x - cos^2 x, vamos usar novamente a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x. Substituindo:
sin^2 x - (1 - sin^2 x) = sin^2 x - 1 + sin^2 x = 2 sin^2 x - 1

Resposta

Portanto, provamos que:
sin^4 x - cos^4 x = 2 sin^2 x - 1

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