Exresse os polinômios abaixo como produtos de termos (x-c), onde c in C são suas raízes:
x^4-x^3-7 x^2+x+6

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio de quarto grau como produto de fatores lineares, ou seja, achar todas as raízes (reais ou complexas) e montar (x - c). O conteúdo é fatoração de polinômios sobre C e vamos usar o Teorema das Raízes Racionais para testar raízes inteiras, divisão sintética (Ruffini) e, se necessário, fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Para encontrar raízes racionais, listamos os divisores de termo independente ( ±1,±2,±3,±6) e avaliamos o polinômio p(x)=x^4 - x^3 -7x^2 + x + 6. Testando x=1 temos:
1^4 - 1^3 -7cdot1^2 +1 +6 =1 -1 -7 +1 +6 =0,
logo x=1 é raiz. Aplicamos divisão sintética por (x-1), obtendo o quociente
x^3 +0x^2 -7x -6

Passo 3

Agora testamos esse cúbico q(x)=x^3 -7x -6. Pelos mesmos candidatos, verificamos em x=-1:
(-1)^3 -7(-1) -6 =-1 +7 -6 =0,
então x=-1 é raiz de q(x). Dividindo sinteticamente por (x+1), o quociente é
x^2 - x -6

Passo 4

Falta resolver a equação quadrática x^2 - x -6 =0. Aplicando Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 +242 = 1 pm 52,
resultando em x=3 e x=-2.

Passo 5

Reunindo todas as raízes, o polinômio se fatoriza como produto dos fatores (x - c) com c = 1, -1, 3, -2.

Resposta

(x-1)(x+1)(x-3)(x+2)

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