Prove as seguintes identidades:
$
\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \quad e \quad \cos (a) \cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]
$
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
sen(a) sen(b)=12[cos (a-b)-cos (a+b)] e cos (a) cos (b)=12[cos (a+b)+cos (a-b)] .

Passo 1

O enunciado pede para provar as identidades de produto-para-soma
$$\operatorname{sen}(a)\operatorname{sen}(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr]\quade\quad\cos(a)\cos(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr],
$$
e depois usar a segunda delas para calcular
sen(a)sen(b)=tfrac12l[cos(a-b)-cos(a+b)r]ecos(a)cos(b)=tfrac12l[cos(a+b)+cos(a-b)r],
O conteúdo envolve fórmulas de soma e diferença de cosseno e aplicação em integração.

Passo 2

Para provar as identidades, começamos listando as fórmulas de soma e diferença de cosseno:
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b),
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)

Passo 3

Somando as duas expressões temos:
cos(a-b)+cos(a+b)=2cos(a)cos(b)
de onde segue imediatamente
cos(a)cos(b)=tfrac12l[cos(a-b)+cos(a+b)r]

Passo 4

Subtraindo as mesmas fórmulas obtemos:
cos(a-b)-cos(a+b)=2sen(a)sen(b)
e assim
sen(a)sen(b)=tfrac12l[cos(a-b)-cos(a+b)r]

Passo 5

Agora aplicamos a identidade de cos(a)cos(b) na integral, com a=5x e b=x:
cos(5x)cos(x)=tfrac12l[cos(6x)+cos(4x)r]
Logo
integralcos(5x)cos(x),dx =tfrac12integralcos(6x),dx+tfrac12integralcos(4x),dx

Passo 6

Para cada termo temos
integralcos(6x),dx=tfrac16sen(6x)+C1,
integralcos(4x),dx=tfrac14sen(4x)+C2

Passo 7

Juntando tudo (absorvendo C1 e C2 num único C) obtemos a forma final da primitiva.

Resposta

\dfrac{1}{12}\operatorname{sen}(6x)+\dfrac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+C

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