Prove as seguintes identidades:
$
\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \quad e \quad \cos (a) \cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]
$
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
.
$
\operatorname{sen}(a) \operatorname{sen}(b)=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \quad e \quad \cos (a) \cos (b)=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]
$
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para provar as identidades de produto-para-soma
$$\operatorname{sen}(a)\operatorname{sen}(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr]\quade\quad\cos(a)\cos(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr],
$$
e depois usar a segunda delas para calcular
e depois usar a segunda delas para calcular
O conteúdo envolve fórmulas de soma e diferença de cosseno e aplicação em integração.
Passo 2
Para provar as identidades, começamos listando as fórmulas de soma e diferença de cosseno:
Passo 3
Somando as duas expressões temos:
de onde segue imediatamente
Passo 4
Subtraindo as mesmas fórmulas obtemos:
e assim
Passo 5
Agora aplicamos a identidade de
na integral, com
e
:
Logo
Passo 6
Para cada termo temos
Passo 7
Juntando tudo (absorvendo
e
num único
) obtemos a forma final da primitiva.
Resposta
\dfrac{1}{12}\operatorname{sen}(6x)+\dfrac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+C