Resolva utilizando substituição trigonométrica
$ \int \frac{d x}{x \sqrt{\left(9+4 x^{2}\right)}}$

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral dxxraiz9+4x^2. O conteúdo principal aqui é substituição trigonométrica para eliminar a raiz do tipo raiza^2+(bx)^2.

Passo 2

Repare que raiz9+4x^2=raiz9l(1+tfrac4x^29r)=3raiz1+l(tfrac2x3r)^2. Então fazemos a substituição tantheta=tfrac2x3. Desse modo, temos
x=32tantheta,
dx=32sec^2theta,dtheta,
e
raiz9+4x^2=3sectheta

Passo 3

Agora reescrevemos a integral em theta. Substituindo,
integral dxxraiz9+4x^2 =integral tfrac32sec^2theta,dthetal(tfrac32tanthetar)l(3secthetar) =integral sec^2theta3tanthetasectheta,dtheta =13integral secthetatantheta,dtheta =13integral csctheta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
integral csctheta,dtheta=-lnl|csctheta+cotthetar|+C,
temos
integral dxxraiz9+4x^2=13l(-lnl|csctheta+cotthetar|r)+C

Passo 5

Volta para a variável x. Como tantheta=tfrac2x3, fica
csctheta=1sintheta=raiz9+4x^22x,
cottheta=1tantheta=32x
Então
csctheta+cottheta=raiz9+4x^2+32x

Passo 6

Absorvendo constantes em C e simplificando o logaritmo, a antiderivada fica
-13lnl|raiz9+4x^2+32xr|+C =13lnl|xraiz9+4x^2+3r|+C

Resposta

13lnl|xraiz9+4x^2+3r|+C

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