Prove as seguintes identidades.
sen^3 x-cos ^3 x1+sen x cos x=sen x-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que:
sin^3 x - cos^3 x1 + sin x cos x = sin x - cos x
Isso está ligado aos conteúdos de identidades trigonométricas e fatoração de expressões algébricas. Vamos precisar usar a fatoração da diferença de cubos e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, olhemos o numerador: sin^3 x - cos^3 x. Sabemos que a diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte forma:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aplicando isso aqui, onde a = sin x e b = cos x, temos:
sin^3 x - cos^3 x = (sin x - cos x)(sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
(sin x - cos x)(sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x)1 + sin x cos x

Passo 4

Observamos que no denominador temos 1 + sin x cos x. Vamos analisar o que está no numerador:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Então, a expressão dentro dos parênteses fica:
sin^2 x + sin x cos x + cos^2 x = 1 + sin x cos x

Passo 5

Substituindo de volta, a expressão fica:
(sin x - cos x)(1 + sin x cos x)1 + sin x cos x
Aqui, vemos que (1 + sin x cos x) aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar.

Passo 6

Cancelando (1 + sin x cos x), temos:
sin x - cos x

Resposta

Portanto, provamos que:
sin^3 x - cos^3 x1 + sin x cos x = sin x - cos x

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