Prove as seguintes identidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que:
Isso está ligado aos conteúdos de identidades trigonométricas e fatoração de expressões algébricas. Vamos precisar usar a fatoração da diferença de cubos e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, olhemos o numerador:
. Sabemos que a diferença de cubos pode ser fatorada da seguinte forma:
Aplicando isso aqui, onde
e
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
Passo 4
Observamos que no denominador temos
. Vamos analisar o que está no numerador:
Então, a expressão dentro dos parênteses fica:
Passo 5
Substituindo de volta, a expressão fica:
Aqui, vemos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar.
Passo 6
Cancelando
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que: