Calcule as integrais definidas dos exercícios 25. a 30.
integral0^pi2 cos ^3 x sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^pi2 cos^3 x , sin^2 x , dx. Aqui, estamos lidando com integrais definidas e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: integral cos^3 x , sin^2 x , dx. Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno, uma boa estratégia é separar uma dessas funções para facilitar a substituição.

Passo 3

Vamos escrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Vamos separar um cos x:
integral cos^3 x , sin^2 x , dx = integral cos^2 x cdot cos x cdot sin^2 x , dx

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica cos^2 x = 1 - sin^2 x para substituir cos^2 x:
integral (1 - sin^2 x) cdot cos x cdot sin^2 x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
integral (1 cdot cos x cdot sin^2 x - sin^2 x cdot cos x cdot sin^2 x) , dx = integral (cos x sin^2 x - cos x sin^4 x) , dx

Passo 6

Agora, vamos fazer a substituição. Seja u = sin x, então du = cos x , dx. Isso simplifica a integral:
integral (u^2 - u^4) , du

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du - integral u^4 , du = u^33 - u^55 + C

Passo 8

Agora, substituímos u = sin x de volta na expressão:
sin^3 x3 - sin^5 x5 + C

Passo 9

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a pi2, aplicamos os limites:
[ sin^3 x3 - sin^5 x5 ]0^pi2

Passo 10

Vamos calcular nos limites:
Para x = pi2:
sin(pi2) = 1
Para x = 0:
sin(0) = 0
Substituindo:
( 1^33 - 1^55 ) - ( 0^33 - 0^55 ) = ( 13 - 15 ) - 0 = 13 - 15

Passo 11

Calculando 13 - 15:
515 - 315 = 215

Resposta

A integral definida é igual a 215.

Exercícios relacionados