Calcule as integrais definidas dos exercícios 25. a 30.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com integrais definidas e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
. Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno, uma boa estratégia é separar uma dessas funções para facilitar a substituição.
Passo 3
Vamos escrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Vamos separar um
:
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Passo 6
Agora, vamos fazer a substituição. Seja
, então
. Isso simplifica a integral:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Passo 9
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a
, aplicamos os limites:
Passo 10
Vamos calcular nos limites:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Passo 11
Calculando
:
Resposta
A integral definida é igual a
.