Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que \cos ^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1, para todo x \in \mathbb{R} e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas:
\operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se provar a identidade trigonométrica \operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x).
  • Nos é dado que \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1 para todo x\in\mathbb{R} (identidade pitagórica básica).
  • Admitir que x está no domínio das funções envolvidas (ou seja, \operatorname{sen}(x)\neq 0 onde necessário).

Passo 2

Definições e observações úteis (aula rápida e direta):
  • Por definição, a cotangente é a razão entre cosseno e seno:
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)},
desde que \operatorname{sen}(x)\neq 0.
  • A cossecante é o recíproco do seno:
\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)},
também definida quando \operatorname{sen}(x)\neq 0.
Essas definições vão permitir reescrever as funções compostas em termos de \cos(x) e \operatorname{sen}(x), que é onde aplicamos a identidade pitagórica.

Passo 3

Começamos a manipular a expressão à esquerda da identidade que queremos provar, escrevendo tudo em termos de \cos(x) e \operatorname{sen}(x):
\operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\left(\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)^{2}+1.
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador \operatorname{sen}^{2}(x):
\left(\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)^{2}+1=\frac{\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 4

Somamos as frações usando o denominador comum e aplicamos a identidade pitagórica:
\frac{\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Pela hipótese dada, \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1. Substituindo:
\frac{\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 5

Reconhecendo o recíproco do seno ao quadrado:
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\right)^{2}=\operatorname{cossec}^{2}(x).
Portanto obtivemos, para todo x no domínio,
\operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x).

Passo 6

Checagem simples (exemplo numérico para ganhar confiança): tomar x=\dfrac{\pi}{4}. Então \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Calculando:
\operatorname{cotg}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+1=1^{2}+1=2, \qquad \operatorname{cossec}^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2.
Confere!

Resposta

\operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x)

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