Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que
, para todo
e supondo que
pertence ao domínio das funções envolvidas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se provar a identidade trigonométrica
. - Nos é dado que
para todo (identidade pitagórica básica). - Admitir que
está no domínio das funções envolvidas (ou seja, onde necessário).
Passo 2
Definições e observações úteis (aula rápida e direta):
- Por definição, a cotangente é a razão entre cosseno e seno:
desde que
.
- A cossecante é o recíproco do seno:
também definida quando
.
Essas definições vão permitir reescrever as funções compostas em termos de e
, que é onde aplicamos a identidade pitagórica.
Essas definições vão permitir reescrever as funções compostas em termos de
Passo 3
Começamos a manipular a expressão à esquerda da identidade que queremos provar, escrevendo tudo em termos de
e
:
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 4
Somamos as frações usando o denominador comum e aplicamos a identidade pitagórica:
Pela hipótese dada,
. Substituindo:
Passo 5
Reconhecendo o recíproco do seno ao quadrado:
Portanto obtivemos, para todo
no domínio,
Passo 6
Checagem simples (exemplo numérico para ganhar confiança): tomar
. Então
e
. Calculando:
Confere!