Uma função real f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é chamada de f periódica se existir uma constante T \in \mathbb{R}, com T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x \in D. O menor valor de T que satisfaz a igualdade acima é chamado de período da função f.
(a) As funções seno, cosseno e tangente são periódicas? Por quê? Quais são os períodos destas funções?
(b) Determine um valor para a constante k de modo que a função f(x)=\operatorname{sen}(k \cdot x) tenha período T=1.

Passo 1

O enunciado dá a definição de função periódica e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se as funções seno, cosseno e tangente são periódicas, justificar por quê e informar os períodos delas.
  • (b) Determinar um valor (ou valores) de k tal que a função f(x)=\operatorname{sen}(k\cdot x) tenha período T=1.
Informações relevantes fornecidas / que vamos usar:
  • Uma função f é periódica se existe T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x do domínio.
  • Procuramos os menores T>0 que satisfaçam isso (período fundamental).
  • A função tangente tem pontos onde não está definida (quando o cosseno é zero), então devemos considerar o domínio ao afirmar periodicidade.

Passo 2

Vamos relembrar e justificar a periodicidade do seno usando a fórmula de adição de seno. A fórmula de adição é:
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b.
Se escolhermos b=2\pi, sabemos que \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0. Substituindo na fórmula:
\operatorname{sen}(a+2\pi)=\operatorname{sen}a\cdot 1 + \cos a\cdot 0 = \operatorname{sen}a.
Isso mostra que 2\pi é um período de \operatorname{sen}: para todo x,
\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x.

Passo 3

Agora explico por que 2\pi é o menor período positivo do seno (ou seja, o período fundamental). Suponha que exista p>0 tal que \operatorname{sen}(x+p)=\operatorname{sen}x para todo x. Pegando x=0 obtemos \operatorname{sen}p=\operatorname{sen}0=0, logo p=n\pi para algum inteiro n. Se n for ímpar, p=\pi(2m+1) e então \operatorname{sen}(x+p)=\operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}x, que não é igual a \operatorname{sen}x para todos os x (por exemplo para x=\pi/2). Logo n deve ser par, p=2m\pi. O menor p>0 dessa forma é p=2\pi. Portanto o período fundamental de \operatorname{sen} é 2\pi.

Passo 4

Para o cosseno usamos a fórmula de adição:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b.
Com b=2\pi temos \cos(2\pi)=1 e \operatorname{sen}(2\pi)=0, daí
\cos(a+2\pi)=\cos a.
Assim 2\pi é período de \cos. Pelo mesmo argumento do passo anterior (testando x=0 e usando a paridade dos possíveis múltiplos de \pi), conclui-se que o menor período positivo do cosseno também é 2\pi.

Passo 5

A tangente é definida por \displaystyle \tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x} quando \cos x\neq 0. Usando as identidades
\operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}x,\qquad \cos(x+\pi)=-\cos x,
temos, sempre que ambos os membros estiverem definidos,
\tan(x+\pi)=\frac{\operatorname{sen}(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\frac{-\operatorname{sen}x}{-\cos x}=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=\tan x.
Portanto \pi é um período de \tan. Pelo mesmo tipo de argumento de minimalidade (testando possibilidades menores) conclui-se que o menor período positivo da tangente é \pi. Observação importante: a tangente não está definida em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; a igualdade \tan(x+\pi)=\tan x vale sempre que ambas as expressões estejam definidas, isto é, no domínio de \tan.

Passo 6

Resumindo até aqui (resposta da parte (a)) de forma direta e objetiva:
  • \operatorname{sen} é periódica com período fundamental 2\pi.
  • \cos é periódica com período fundamental 2\pi.
  • \tan é periódica (no seu domínio) com período fundamental \pi.

Passo 7

Agora a parte (b). Queremos f(x)=\operatorname{sen}(k x) com período T=1. Pelo raciocínio geral, se g(x)=\operatorname{sen}x tem período 2\pi, então g(kx)=\operatorname{sen}(k x) tem período fundamental
T_{\text{fund}}=\frac{2\pi}{|k|},
desde que k\neq 0. Isso vem porque precisamos do menor T>0 tal que \operatorname{sen}(k(x+T))=\operatorname{sen}(k x) para todo x, ou seja, tal que kT seja um período de \operatorname{sen}; o menor tal kT positivo é 2\pi, daí kT=2\pi\Rightarrow T=2\pi/|k|.

Passo 8

Impondo T_{\text{fund}}=1 obtemos
\frac{2\pi}{|k|}=1 \quad\Longrightarrow\quad |k|=2\pi.
Assim os valores de k que fazem o período fundamental igual a 1 são k=2\pi ou k=-2\pi.

Passo 9

Observação extra (caso você quisesse apenas que 1 fosse um período, não necessariamente o menor): a condição para 1 ser um período (ou seja, \operatorname{sen}(k(x+1))=\operatorname{sen}(k x) para todo x) é que k\cdot 1 seja um período de \operatorname{sen}, isto é k=2\pi n para algum inteiro n. Para n\neq 0 isso dá função não-constante com período que divide 1. Para n=0 tem k=0 e \operatorname{sen}(0\cdot x)=0 é a função constante zero (que formalmente é periódica com qualquer T, mas aí o menor período não é bem definido). Então:
  • Se só se exige que 1 seja um período: k=2\pi n, n\in\mathbb{Z}.
  • Se se exige que o período fundamental (menor período positivo) seja 1: k=\pm 2\pi.

Resposta

(a) \operatorname{sen} e \cos são periódicas com período fundamental 2\pi. \tan é periódica no seu domínio (onde \cos x\neq0) com período fundamental \pi.
(b) Se o período fundamental deve ser 1: k=\pm 2\pi. Se apenas se exige que 1 seja um período (não necessariamente o menor), então k=2\pi n com n\in\mathbb{Z} (excluindo n=0 se se quiser evitar a função constante).

Exercícios relacionados