Uma função real
é chamada de
periódica se existir uma constante
, com
tal que
para todo
. O menor valor de
que satisfaz a igualdade acima é chamado de período da função
.
(a) As funções seno, cosseno e tangente são periódicas? Por quê? Quais são os períodos destas funções?
(b) Determine um valor para a constante
de modo que a função
tenha período
.
(a) As funções seno, cosseno e tangente são periódicas? Por quê? Quais são os períodos destas funções?
(b) Determine um valor para a constante
Passo 1
O enunciado dá a definição de função periódica e pede duas coisas:
- (a) Verificar se as funções seno, cosseno e tangente são periódicas, justificar por quê e informar os períodos delas.
- (b) Determinar um valor (ou valores) de
tal que a função tenha período .
Informações relevantes fornecidas / que vamos usar:
- Uma função
é periódica se existe tal que para todo do domínio. - Procuramos os menores
que satisfaçam isso (período fundamental). - A função tangente tem pontos onde não está definida (quando o cosseno é zero), então devemos considerar o domínio ao afirmar periodicidade.
Passo 2
Vamos relembrar e justificar a periodicidade do seno usando a fórmula de adição de seno. A fórmula de adição é:
Se escolhermos
, sabemos que
e
. Substituindo na fórmula:
Isso mostra que
é um período de
: para todo
,
Passo 3
Agora explico por que
é o menor período positivo do seno (ou seja, o período fundamental). Suponha que exista
tal que
para todo
. Pegando
obtemos
, logo
para algum inteiro
. Se
for ímpar,
e então
, que não é igual a
para todos os
(por exemplo para
). Logo
deve ser par,
. O menor
dessa forma é
. Portanto o período fundamental de
é
.
Passo 4
Para o cosseno usamos a fórmula de adição:
Com
temos
e
, daí
Assim
é período de
. Pelo mesmo argumento do passo anterior (testando
e usando a paridade dos possíveis múltiplos de
), conclui-se que o menor período positivo do cosseno também é
.
Passo 5
A tangente é definida por
quando
. Usando as identidades
temos, sempre que ambos os membros estiverem definidos,
Portanto
é um período de
. Pelo mesmo tipo de argumento de minimalidade (testando possibilidades menores) conclui-se que o menor período positivo da tangente é
. Observação importante: a tangente não está definida em
; a igualdade
vale sempre que ambas as expressões estejam definidas, isto é, no domínio de
.
Passo 6
Resumindo até aqui (resposta da parte (a)) de forma direta e objetiva:
-
é periódica com período fundamental . -
é periódica com período fundamental . -
é periódica (no seu domínio) com período fundamental .
Passo 7
Agora a parte (b). Queremos
com período
. Pelo raciocínio geral, se
tem período
, então
tem período fundamental
desde que
. Isso vem porque precisamos do menor
tal que
para todo
, ou seja, tal que
seja um período de
; o menor tal
positivo é
, daí
.
Passo 8
Impondo
obtemos
Assim os valores de
que fazem o período fundamental igual a
são
ou
.
Passo 9
Observação extra (caso você quisesse apenas que
fosse um período, não necessariamente o menor): a condição para
ser um período (ou seja,
para todo
) é que
seja um período de
, isto é
para algum inteiro
. Para
isso dá função não-constante com período que divide
. Para
tem
e
é a função constante zero (que formalmente é periódica com qualquer
, mas aí o menor período não é bem definido). Então:
- Se só se exige que
seja um período: , . - Se se exige que o período fundamental (menor período positivo) seja
: .
Resposta
(a)
e
são periódicas com período fundamental
.
é periódica no seu domínio (onde
) com período fundamental
.
(b) Se o período fundamental deve ser :
. Se apenas se exige que
seja um período (não necessariamente o menor), então
com
(excluindo
se se quiser evitar a função constante).
(b) Se o período fundamental deve ser