Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo z\in\mathbb{C}, vale a fórmula da parte imaginária em função de z e do seu conjugado:
\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}.
Vamos usar a definição de número complexo em forma cartesiana e a definição de conjugado.

Passo 2

Seja z=x+iy, onde x,y\in\mathbb{R}. Então, por definição, o conjugado de z é
\bar{z}=x-iy.
Logo,
z-\bar{z}=(x+iy)-(x-iy)=2\,i\,y.
Dividindo por 2i, obtemos
\frac{z-\bar{z}}{2i}=\frac{2\,i\,y}{2i}=y.
Por outro lado, pela definição de parte imaginária, \operatorname{Im}(z)=y. Assim
\frac{z-\bar{z}}{2i}=y=\operatorname{Im}(z),
o que prova a igualdade desejada.

Resposta

\operatorname{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}.

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