Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} : \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\, se \(w \neq 0.) Passo 1O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,w\in\mathbb{C} com w\neq0, vale \overline{\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)} \;=\;\frac{\overline z}{\overline w}. O conteúdo principal aqui é a propriedade do conjugado em relação a produto e inverso de complexos. Passo 2Lembramos que, para quaisquer complexos a,b, vale a propriedade \overline{a\,b} \;=\;\overline a\;\overline b. Em particular, aplicando isso a a=z e b=\tfrac1w, obtemos \overline{\Bigl(z\cdot\frac1w\Bigr)} \;=\;\overline z\;\overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)}. Passo 3Para tratar \overline\bigl(\tfrac1w\bigr), usamos que \frac1w \;=\;\frac{\overline w}{|w|^2}, onde |w|^2 = w\,\overline w é real. Tomando conjugado, \overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)} \;=\;\overline{\Bigl(\frac{\overline w}{|w|^2}\Bigr)} =\;\frac{w}{|w|^2} =\;\frac1{\overline w}. Passo 4Substituindo esse resultado em \overline{\Bigl(\frac z w\Bigr)} =\;\overline{\Bigl(z\cdot\frac1w\Bigr)} =\;\overline z\;\overline{\Bigl(\frac1w\Bigr)}, fica \overline{\Bigl(\frac z w\Bigr)} =\;\overline z\;\frac1{\overline w} =\;\frac{\overline z}{\overline w}. Resposta \overline{\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)} = \frac{\overline z}{\overline w}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosProve que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} : \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}\, se \(w \neq 0.) Mostre que o espaço vetorial M_{2 \times 2} é gerado pelos vetores v_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) e v_{4}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}. Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2 i}.