Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
z \bar{z}=|z|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um número complexo z, o produto de z pela sua conjugada \bar z é igual ao quadrado do seu módulo, isto é,
z\,\bar z = |z|^2.
O conteúdo envolvido é a representação cartesiana de números complexos, a definição de conjugado e a definição de módulo.

Passo 2

Escrevemos z na forma cartesiana
z = x + i\,y,
onde x = \Re(z) e y = \Im(z) são números reais.

Passo 3

A conjugada de z é
\bar z = x - i\,y.
Multiplicando z por \bar z, temos
z\,\bar z = (x + i\,y)\,(x - i\,y).

Passo 4

Desenvolvendo o produto:
(x + i\,y)(x - i\,y) = x^2 - i\,x\,y + i\,x\,y - i^2\,y^2 = x^2 + y^2,
pois -i\,x\,y + i\,x\,y = 0 e i^2 = -1.
Também, pela definição de módulo,
|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad\Longrightarrow\qquad |z|^2 = x^2 + y^2.
Logo,
z\,\bar z = x^2 + y^2 = |z|^2.

Resposta

z\,\bar z = |z|^2.

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