Prove os seguintes limites pela definição:
lim x 12 2 x-3=-2

Passo 1

O enunciado pede para provar que limxtotfrac12(2x-3)=-2 usando a definição varepsilon- de. O conteúdo aqui é limite de função pelo método varepsilon- de.

Passo 2

A definição de limite diz que limxto af(x)=L significa: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, se 0<|x-a|, então |f(x)-L|. No nosso caso:\
  • (f(x)=2x-3\
  • (a=\tfrac12\
  • L=-2.

Passo 3

Vamos calcular a diferença |f(x)-L| para relacionar com |x-a|.
|(2x-3)-(-2)|=|2x-1|=2,|x-tfrac12|

Passo 4

Para garantir |(2x-3)-(-2)|, basta ter
2,|x-tfrac12|
ou seja
|x-tfrac12|
Logo, se escolhermos de, sempre que |x-tfrac12| teremos
|(2x-3)-(-2)|=2|x-tfrac12|<2de

Passo 5

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe de0 satisfazendo a definição de limite. Portanto
limxtotfrac12(2x-3)=-2

Resposta

Para cada varepsilon>0, basta escolher de, garantindo que se |x-tfrac12| então |(2x-3)-(-2)|.

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