Prove os seguintes limites pela definição:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+1}{x+3}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite, que
\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x+3}=\frac{1}{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+1}{x+3}.
  • Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, valha \left|\dfrac{x+1}{x+3}-\dfrac{1}{2}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição (em linguagem amigável): provar \lim_{x\to 1}f(x)=L significa: dado qualquer \varepsilon>0, devemos encontrar um \delta>0 (que pode depender de \varepsilon) tal que, sempre que x esteja dentro da distância \delta de 1 (mas x\neq1), então f(x) esteja dentro da distância \varepsilon de L. Aqui L=\dfrac{1}{2}. Ou seja, queremos controlar
\left|\frac{x+1}{x+3}-\frac{1}{2}\right|
em termos de |x-1|.

Passo 3

Faço a manipulação algébrica para escrever a diferença de forma clara:
\left|\frac{x+1}{x+3}-\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2(x+1)-(x+3)}{2(x+3)}\right| = \left|\frac{x-1}{2(x+3)}\right| = \frac{|x-1|}{2|x+3|}.

Passo 4

Para transformar a expressão acima numa desigualdade do tipo constante vezes |x-1|, preciso garantir um limite inferior para |x+3| quando x está perto de 1. Uma escolha conveniente é restringir x a uma vizinhança onde |x-1|<1. Se |x-1|<1 então x\in(0,2), portanto
x+3\in(3,5)\quad\Rightarrow\quad |x+3|\ge 3.
Observação: isso é seguro porque o ponto problemático -3 está muito longe de 1; perto de 1 o denominador nunca se aproxima de zero.

Passo 5

Usando |x+3|\ge 3 na expressão do Passo 3 obtemos
\left|\frac{x+1}{x+3}-\frac{1}{2}\right| = \frac{|x-1|}{2|x+3|} \le \frac{|x-1|}{2\cdot 3} = \frac{|x-1|}{6},
sempre que |x-1|<1.

Passo 6

Agora vem o passo padrão de escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir \dfrac{|x-1|}{6}<\varepsilon. Basta exigir |x-1|<6\varepsilon. Além disso precisamos manter a condição auxiliar |x-1|<1 que usamos para bound no denominador. Portanto tomamos
\delta=\min\{1,\,6\varepsilon\}.
Então, se 0<|x-1|<\delta, temos simultaneamente |x-1|<1 (logo |x+3|\ge3) e |x-1|<6\varepsilon. Assim
\left|\frac{x+1}{x+3}-\frac{1}{2}\right| \le \frac{|x-1|}{6}<\frac{6\varepsilon}{6}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta acima) satisfazendo a definição de limite.

Passo 7

Concluímos que o limite existe e vale \dfrac{1}{2}. Pequeno lembrete motivador: a ideia prática é sempre transformar a diferença f(x)-L numa expressão envolvendo |x-1| multiplicada por algo que podemos dominar (aqui o denominador), e então escolher \delta para controlar esse fator. Vai dar certo com prática — tá indo bem!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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