Prove que os seguintes números são irracionais: raiz5, raiz6 e raiz[3]7.

Passo 1

Neste exercício, queremos provar que os números raiz5, raiz6 e raiz[3]7 são irracionais, ou seja, que não podem ser escritos como uma fração p/q com p,qinZ e qneq0. O método principal será prova por contradição, recorrendo ao fato de que, se um número primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores (lema de Euclides).

Passo 2

Prova de irracionalidade de raiz5: suponha, por absurdo, que raiz5=p/q com p,q inteiros coprimos e q>0. Elevando ao quadrado,
5q^2 = p^2
Como 5 é primo e divide o produto 5q^2, ele divide p^2 e, portanto, p. Escrevendo p=5k, substituímos na equação e obtemos
5q^2 = (5k)^2 = 25k^2 Longrightarrow q^2 = 5k^2
Isso mostra que 5 também divide q^2 e, consequentemente, q. Logo, p e q têm o fator 5 em comum, contradizendo a hipótese de serem coprimos. Concluímos que raiz5 é irracional.

Passo 3

Prova de irracionalidade de raiz6: suponha, por absurdo, que raiz6=p/q com p,q coprimos e q>0. Elevando ao quadrado,
6q^2 = p^2
Como 2 é primo e divide 6q^2, segue que 2 divide p^2 e, portanto, p. Logo p=2k. Substituindo,
6q^2 = (2k)^2 = 4k^2 Longrightarrow 2k^2 = 3q^2
Agora 3 divide 3q^2, logo 3 divide 2k^2. Como 3 não divide 2, ele divide k^2 e, então, k. Escrevendo k=3m, deduzimos que p=2k=6m, ou seja, 6 divide p. Voltando à equação original com p=6m,
6q^2 = (6m)^2 = 36m^2 Longrightarrow q^2 = 6m^2,
o que implica que 6 divide q^2 e, portanto, q. Novamente há um fator comum 6 em p e q, contradizendo a coprimalidade. Logo raiz6 é irracional.

Passo 4

Prova de irracionalidade de raiz[3]7: suponha, por absurdo, que raiz[3]7=p/q com p,q coprimos e q>0. Elevando ao cubo,
7q^3 = p^3
Como 7 é primo e divide 7q^3, ele divide p^3 e, então, p. Escrevendo p=7k e substituindo,
7q^3 = (7k)^3 = 343k^3 Longrightarrow q^3 = 49k^3,
vemos que 7 divide q^3 e, portanto, q. Assim, p e q teriam 7 em comum, contradizendo a coprimalidade. Concluímos que raiz[3]7 é irracional.

Resposta

Os três números são irracionais: raiz5, raiz6 e raiz[3]7.

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