Prove que os seguintes números são irracionais:
e
.
Passo 1
Neste exercício, queremos provar que os números
,
e
são irracionais, ou seja, que não podem ser escritos como uma fração
com
e
. O método principal será prova por contradição, recorrendo ao fato de que, se um número primo divide um produto, então ele divide pelo menos um dos fatores (lema de Euclides).
Passo 2
Prova de irracionalidade de
: suponha, por absurdo, que
com
inteiros coprimos e
. Elevando ao quadrado,
Como 5 é primo e divide o produto
Isso mostra que 5 também divide
e, consequentemente,
. Logo,
e
têm o fator 5 em comum, contradizendo a hipótese de serem coprimos. Concluímos que
é irracional.
Passo 3
Prova de irracionalidade de
: suponha, por absurdo, que
com
coprimos e
. Elevando ao quadrado,
Como 2 é primo e divide
Agora 3 divide
, logo 3 divide
. Como 3 não divide 2, ele divide
e, então,
. Escrevendo
, deduzimos que
, ou seja, 6 divide
. Voltando à equação original com
,
o que implica que 6 divide
Passo 4
Prova de irracionalidade de
: suponha, por absurdo, que
com
coprimos e
. Elevando ao cubo,
Como 7 é primo e divide
vemos que 7 divide
e, portanto,
. Assim,
e
teriam 7 em comum, contradizendo a coprimalidade. Concluímos que
é irracional.
Resposta
Os três números são irracionais:
,
e
.