Usando o fato que raiz2 é irracional, prove que entre dois reais a e b com a, existe um número irracional da forma r raiz2, sendo r racional.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, dados dois reais a, existe um número irracional de forma rraiz2 com r racional e a. Vamos usar dois fatos: (i) a densidade dos racionais em R e (ii) que se rinQsetminus0 então rraiz2 é irracional.

Passo 2

Como raiz2>0, podemos dividir a desigualdade a por raiz2 sem inverter sinais. Assim obtemos
araiz2;<;braiz2

Passo 3

Isso define um intervalo aberto não vazio
I=l(tfracaraiz2,,tfracbraiz2r)

Passo 4

Pela densidade dos racionais, existe rinQ tal que
rin I,

Passo 5

ou seja
araiz2

Passo 6

Se por acaso r=0, note que I tem comprimento positivo e, portanto, um dos subintervalos
l(0,tfracbraiz2r) ou
l(tfracaraiz2,0r) também é não vazio, o que garante um racional não nulo em I. Assim podemos escolher rneq0.

Passo 7

Multiplicando a desigualdade tfracaraiz2 por raiz2 (que é positivo) obtemos
a
Como r é racional diferente de zero e raiz2 é irracional, o produto rraiz2 também é irracional. Portanto encontramos o número desejado.

Resposta

Basta escolher qualquer racional r tal que
araiz2
então rraiz2 é irracional e satisfaz a.

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