Usando o fato que
é irracional, prove que entre dois reais
e
com
, existe um número irracional da forma
, sendo
racional.
Passo 1
A questão pede para mostrar que, dados dois reais
, existe um número irracional de forma
com
racional e
. Vamos usar dois fatos: (i) a densidade dos racionais em
e (ii) que se
então
é irracional.
Passo 2
Como
, podemos dividir a desigualdade
por
sem inverter sinais. Assim obtemos
Passo 3
Isso define um intervalo aberto não vazio
Passo 4
Pela densidade dos racionais, existe
tal que
Passo 5
ou seja
Passo 6
Se por acaso
, note que
tem comprimento positivo e, portanto, um dos subintervalos
ou
também é não vazio, o que garante um racional não nulo em
. Assim podemos escolher
.
Passo 7
Multiplicando a desigualdade
por
(que é positivo) obtemos
Como
é racional diferente de zero e
é irracional, o produto
também é irracional. Portanto encontramos o número desejado.
Resposta
Basta escolher qualquer racional
tal que
então
é irracional e satisfaz
.