Prove as seguintes sentenças:
Se \lim x_{n}=+\infty e existe c>0 tal que y_{n}>c \forall n \in \mathbb{N}, então \lim x_{n} y_{n}=+\infty.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas sequências reais (x_n) e (y_n), com \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty e existe c>0 tal que y_n>c para todo n. Queremos mostrar que \lim_{n\to\infty}x_n\,y_n=+\infty. Para isso, usaremos a definição de divergência para mais infinito e a desigualdade fornecida.

Passo 2

A afirmação \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty significa: para todo L>0, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N_1, vale
x_n > L.

Passo 3

Como y_n>c>0 para todo n, podemos estimar
x_n\,y_n > c\,x_n.

Passo 4

Seja M>0. Para garantir x_n\,y_n>M, basta forçar c\,x_n>M, ou seja x_n>M/c. Como \lim x_n=+\infty, existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
x_n > \frac{M}{c}.
Logo, para esses n,
x_n\,y_n > c\,x_n > c\cdot\frac{M}{c} = M.

Passo 5

Mostramos que dado qualquer M>0 existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1, x_n\,y_n>M. Isso prova que
\lim_{n\to\infty}x_n\,y_n = +\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}x_n\,y_n = +\infty

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