Sejam a>1 e k \in \mathbb{N} constantes. Prove que \lim \frac{n^{k}}{a^{n}}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x_n = \frac{n^{k}}{a^{n}},
com a>1 e k\in\mathbb{N}, e pede que mostremos
\lim_{n\to\infty}x_n = 0.
O conteúdo aqui é comparação de crescimento de “polinomial” versus “exponencial”. Vamos usar o teste da razão para sequências: se
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = L < 1,
então \lim x_n = 0.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{(n+1)^k}{a^{\,n+1}}}{\frac{n^k}{a^n}} = \frac{(n+1)^k}{n^k}\,\frac{1}{a} = \bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr)^{k}\,\frac{1}{a}.

Passo 3

Observe que
\lim_{n\to\infty}\bigl(1 + \tfrac{1}{n}\bigr)^{k} = 1,
logo
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{a} < 1,
pois a>1.

Passo 4

Como
\frac{x_{n+1}}{x_n}\to\frac{1}{a}<1,
existe N tal que para todo n\ge N temos
\frac{x_{n+1}}{x_n} \le q \quad\text{com algum }q\text{ satisfazendo } \frac{1}{a}<q<1.
Dessa forma, para n\ge N,
x_n = x_N\;\frac{x_{N+1}}{x_N}\;\frac{x_{N+2}}{x_{N+1}}\cdots\frac{x_n}{x_{n-1}} \le x_N\,q^{\,n-N}.
Como q^{\,n-N}\to0 quando n\to\infty, segue que x_n\to0.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{n^{k}}{a^{n}} = 0.

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