Sejam
e
constantes. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
com
e
, e pede que mostremos
O conteúdo aqui é comparação de crescimento de “polinomial” versus “exponencial”. Vamos usar o teste da razão para sequências: se
então
.
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Observe que
logo
pois
.
Passo 4
Como
existe
tal que para todo
temos
Dessa forma, para
,
Como
quando
, segue que
.