Prove as seguintes sentenças:
Se
e
é limitada inferiormente, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
e que a sequência
é limitada inferiormente. O objetivo é mostrar que
O conteúdo usado será a definição de “tender a
” e a noção de sequência limitada inferiormente.
Passo 2
Como
é limitada inferiormente, existe um número real
tal que, para todo índice
,
Passo 3
Por hipótese,
. Logo, pela definição, para qualquer real
existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Queremos provar que, dado qualquer
, existe
tal que para todo
vale
Escolhemos
Como
e
é fixo, temos
real. Pela definição de
, existe
tal que para
vale
. Então, para tais
,
Isso mostra exatamente que
.