Prove as seguintes sentenças:
Se \lim x_{n}=+\infty e \left(y_{n}\right) é limitada inferiormente, então \lim \left(x_{n}+y_{n}\right)=+\infty.

Passo 1

O enunciado afirma que \lim x_{n}=+\infty e que a sequência \left(y_{n}\right) é limitada inferiormente. O objetivo é mostrar que
\lim\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr)=+\infty.
O conteúdo usado será a definição de “tender a +\infty” e a noção de sequência limitada inferiormente.

Passo 2

Como \left(y_{n}\right) é limitada inferiormente, existe um número real m tal que, para todo índice n,
y_{n}\ge m.

Passo 3

Por hipótese, \lim x_{n}=+\infty. Logo, pela definição, para qualquer real A>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
x_{n}>A.

Passo 4

Queremos provar que, dado qualquer M>0, existe N tal que para todo n\ge N vale
x_{n}+y_{n}>M.
Escolhemos
A = M - m.
Como M>0 e m é fixo, temos A real. Pela definição de \lim x_{n}=+\infty, existe N tal que para n\ge N vale x_{n}>A. Então, para tais n,
x_{n}+y_{n}\;\ge\;x_{n}+m\;>\;A + m \;=\;(M - m)+m \;=\;M.
Isso mostra exatamente que x_{n}+y_{n}\to+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim\bigl(x_{n}+y_{n}\bigr)=+\infty.

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