Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.3.1 Seja
e
. Então
(ou
) se, e somente se, para toda sequência
em
tal que
, tem-se que
(ou
).
Theorem 1.3.1 Seja
Passo 1
O enunciado trata do conceito de limite divergente de uma função para
(o caso
é análogo). Vamos usar:
Definição. Dizemos que
Definição. Dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, sempre que
,
, então
.
Queremos mostrar que isso ocorre exatamente quando, para toda sequência com
, temos
.
Queremos mostrar que isso ocorre exatamente quando, para toda sequência
Passo 2
(Prova de “
toda sequência satisfaz
”)
Suponha . Seja
qualquer sequência com
. Queremos
.
Suponha
- Tome um
. - Pela definição de limite, existe
tal que
- Como
, existe tal que, para todo , . - Para esses
temos , logo .
Concluímos que, dado qualquer, a partir de algum índice todo ultrapassa . Isso é exatamente .
Passo 3
(Prova de “toda sequência satisfaz
”)
Fazemos o contrapositivo: se , mostramos que existe alguma sequência
para a qual
.
Fazemos o contrapositivo: se
-
significa que existe algum tal que para todo existe com e . - Escolha
. Para cada existe satisfazendo
- Claramente
, mas para todo , logo não tende a .
Isso mostra que se a definição de limite divergente falha, então a condição sequencial também falha.
Resposta
Portanto, concluímos a equivalência desejada: