Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.3.1 Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in X^{\prime}. Então \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty (ou -\infty ) se, e somente se, para toda sequência \left(x_{n}\right) em X \backslash\left\{x_{0}\right\} tal que x_{n} \rightarrow x_{0}, tem-se que f\left(x_{n}\right) \rightarrow \infty (ou -\infty ).

Passo 1

O enunciado trata do conceito de limite divergente de uma função para +\infty (o caso -\infty é análogo). Vamos usar:
Definição. Dizemos que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty
se, e somente se, para todo M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X, 0<|x-x_0|<\delta, então f(x)>M.
Queremos mostrar que isso ocorre exatamente quando, para toda sequência \bigl(x_n\bigr)\subset X\setminus\{x_0\} com x_n\to x_0, temos f(x_n)\to\infty.

Passo 2

(Prova de “ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty \implies toda sequência satisfaz f(x_n)\to\infty”)
Suponha \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty. Seja \bigl(x_n\bigr)\subset X\setminus\{x_0\} qualquer sequência com x_n\to x_0. Queremos f(x_n)\to\infty.
  • Tome um M>0.
  • Pela definição de limite, existe \delta>0 tal que
0<|x-x_0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M.
  • Como x_n\to x_0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, |x_n-x_0|<\delta.
  • Para esses n temos 0<|x_n-x_0|<\delta, logo f(x_n)>M.
    Concluímos que, dado qualquer M, a partir de algum índice N todo f(x_n) ultrapassa M. Isso é exatamente f(x_n)\to\infty.

Passo 3

(Prova de “toda sequência satisfaz f(x_n)\to\infty \implies \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty”)
Fazemos o contrapositivo: se \lim_{x\to x_0}f(x)\neq\infty, mostramos que existe alguma sequência (x_n)\to x_0 para a qual f(x_n)\not\to\infty.
  • \lim_{x\to x_0}f(x)\neq\infty significa que existe algum M>0 tal que para todo \delta>0 existe x\in X com 0<|x-x_0|<\delta e f(x)\le M.
  • Escolha \delta_n=1/n. Para cada n existe x_n\in X satisfazendo
0<|x_n-x_0|<\frac1n \quad\text{e}\quad f(x_n)\le M.
  • Claramente x_n\to x_0, mas f(x_n)\le M para todo n, logo f(x_n) não tende a +\infty.
    Isso mostra que se a definição de limite diver­gente falha, então a condição sequencial também falha.

Resposta

Portanto, concluímos a equivalência desejada:
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para toda sequência }x_n\to x_0\text{ em }X\setminus\{x_0\}, \;f(x_n)\to\infty.ê

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