Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.2.6 Seja
em
. Então
Theorem 1.2.6 Seja
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
e um ponto
que é aderente tanto pela esquerda quanto pela direita (isto é,
). Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar a definição
-
de limite e as definições de limites laterais.
Passo 2
Provar “
e
”.
Suponha
. Então, dado qualquer
, existe
tal que, sempre que
e
temos
.
- Se
e , então e logo . Isso mostra . - Se
e , então também , o que dá .
Passo 3
Provar “
e
”.
Suponha agora que
Pelo lado esquerdo, para cada
existe
tal que, sempre que
e
, temos
.
Pelo lado direito, existe tal que, sempre que
e
, temos
.
Defina
Pelo lado direito, existe
Defina
Então, para qualquer
com
, há dois casos:
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Em ambos os casos
, o que prova
.