Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.2.6 Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} em x_{0} \in X_{+}^{\prime} \cap X_{-}^{\prime}. Então
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L \text { se, e somente se, } \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=L \text { e } \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=L

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f\colon X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto x_{0}\in X que é aderente tanto pela esquerda quanto pela direita (isto é, x_{0}\in X_{-}'\cap X_{+}'). Queremos mostrar que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L \;\text{ e }\; \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.
Para isso, vamos usar a definição \varepsilon- \delta de limite e as definições de limites laterais.

Passo 2

Provar “ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L \implies \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L”.
Suponha \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L. Então, dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e
0<|x-x_{0}|<\delta,
temos |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Se x<x_{0} e 0<x_{0}-x<\delta, então 0<|x-x_{0}|<\delta e logo |f(x)-L|<\varepsilon. Isso mostra \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L.
  • Se x>x_{0} e 0<x-x_{0}<\delta, então também |f(x)-L|<\varepsilon, o que dá \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

Passo 3

Provar “ \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L \implies \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L”.
Suponha agora que
\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.
Pelo lado esquerdo, para cada \varepsilon>0 existe \delta_{1}>0 tal que, sempre que x<x_{0} e 0<x_{0}-x<\delta_{1}, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Pelo lado direito, existe \delta_{2}>0 tal que, sempre que x>x_{0} e 0<x-x_{0}<\delta_{2}, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Defina
\delta = \min\{\delta_{1},\,\delta_{2}\}.
Então, para qualquer x\in X com 0<|x-x_{0}|<\delta, há dois casos:
  • Se x<x_{0}, então 0<x_{0}-x<\delta\le\delta_{1}, logo |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Se x>x_{0}, então 0<x-x_{0}<\delta\le\delta_{2}, logo |f(x)-L|<\varepsilon.
Em ambos os casos |f(x)-L|<\varepsilon, o que prova \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L.

Resposta

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L \;\text{ e }\; \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

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