Theorem 1.4.2 Uma função real
é contínua em
se e somente se, toda sequência
em
tal que
tem-se que
.
Passo 1
Resumindo o que precisamos mostrar: seja
e
. Queremos provar que
- se
é contínua em no sentido , então toda sequência com satisfaz ; - se toda sequência
com satisfaz , então é contínua em no sentido .
Passo 2
Prova de continuidade
continuidade sequencial.
Suponha que seja contínua em
pelo critério
. Então, dado
, existe
tal que
Suponha que
Agora seja
com
. Por definição de limite de sequência, existe
tal que para todo
temos
. Logo, para todo
,
o que mostra exatamente que
.
Passo 3
Prova de continuidade sequencial
continuidade
.
Vamos usar um argumento por contradição. Suponha que não seja contínua em
no sentido
. Então existe algum
tal que para todo
encontramos
com
Vamos usar um argumento por contradição. Suponha que
Escolhendo
, para cada
podemos tomar
satisfazendo
Então
, mas
impede que
. Isso contraria a hipótese de continuidade sequencial. Logo,
deve ser contínua em
no sentido
.
Resposta
Demonstra-se assim a equivalência entre a definição
de continuidade em
e o fato de que toda sequência
implica
.