Theorem 1.4.2 Uma função real f é contínua em x_{0} \in D(f) se e somente se, toda sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} em D(f) tal que x_{n} \rightarrow x_{0} tem-se que f\left(x_{n}\right) \rightarrow f\left(x_{0}\right).

Passo 1

Resumindo o que precisamos mostrar: seja f\colon D(f)\to\mathbb{R} e x_{0}\in D(f). Queremos provar que
  1. se f é contínua em x_{0} no sentido \varepsilon - \delta, então toda sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0} satisfaz f(x_{n})\to f(x_{0});
  2. se toda sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0} satisfaz f(x_{n})\to f(x_{0}), então f é contínua em x_{0} no sentido \varepsilon - \delta.

Passo 2

Prova de continuidade \varepsilon - \delta \implies continuidade sequencial.
Suponha que f seja contínua em x_{0} pelo critério \varepsilon - \delta. Então, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x - x_{0}|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon.
Agora seja \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0}. Por definição de limite de sequência, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N temos |x_{n}-x_{0}|<\delta. Logo, para todo n\ge N,
|f(x_{n})-f(x_{0})|<\varepsilon,
o que mostra exatamente que f(x_{n})\to f(x_{0}).

Passo 3

Prova de continuidade sequencial \implies continuidade \varepsilon - \delta.
Vamos usar um argumento por contradição. Suponha que f não seja contínua em x_{0} no sentido \varepsilon - \delta. Então existe algum \varepsilon_{0}>0 tal que para todo \delta>0 encontramos x\in D(f) com
|x-x_{0}|<\delta \quad\text{e}\quad |f(x)-f(x_{0})|\ge\varepsilon_{0}.
Escolhendo \delta = 1/n, para cada n\in\mathbb{N} podemos tomar x_{n}\in D(f) satisfazendo
|x_{n}-x_{0}|<\tfrac1n \quad\text{e}\quad |f(x_{n})-f(x_{0})|\ge\varepsilon_{0}.
Então x_{n}\to x_{0}, mas |f(x_{n})-f(x_{0})|\ge\varepsilon_{0} impede que f(x_{n})\to f(x_{0}). Isso contraria a hipótese de continuidade sequencial. Logo, f deve ser contínua em x_{0} no sentido \varepsilon - \delta.

Resposta

Demonstra-se assim a equivalência entre a definição \varepsilon - \delta de continuidade em x_{0} e o fato de que toda sequência x_{n}\to x_{0} implica f(x_{n})\to f(x_{0}).

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