Prove os seguintes teoremas:
(-1) cdot x=-x, para todo x in V.

Passo 1

O enunciado quer que, num espaço vetorial V sobre um corpo F, provemos que
(-1)cdot x = -x
para todo xin V. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e de vetores, existência do neutro escalar e vetorial, e unicidade do inverso aditivo.

Passo 2

Mostramos primeiro que o escalar 0in F age em qualquer vetor xin V produzindo o vetor nulo. Pela distributividade escalar sobre soma de escalares,
(0+0)x = 0x + 0x
Como 0+0=0 no corpo, o lado esquerdo é 0x, logo
0x = 0x + 0x
Somando em ambos os lados o inverso aditivo de 0x (isto é, -0x), obtemos
0 = 0x,
onde o 0 à esquerda é o vetor nulo em V. Assim,
0cdot x = 0forall,xin V

Passo 3

Use agora a identidade do corpo -1+1=0. Multiplicando por x e aplicando distributividade escalar sobre soma de escalares, temos
(-1+1)x = (-1)x + 1x
Como (-1+1)=0, o lado esquerdo vale 0x, e 1x=x. Como vimos no passo anterior, 0x=0. Logo
(-1)x + x = 0

Passo 4

A igualdade (-1)x + x = 0 diz que (-1)x é o inverso aditivo de x. Mas o inverso aditivo de x é, por definição, -x e é único. Portanto
(-1)cdot x = -x

Resposta

(-1)cdot x = -x,forall,xin V

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