Prove os seguintes teoremas:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado quer que, num espaço vetorial
sobre um corpo
, provemos que
para todo
. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares e de vetores, existência do neutro escalar e vetorial, e unicidade do inverso aditivo.
Passo 2
Mostramos primeiro que o escalar
age em qualquer vetor
produzindo o vetor nulo. Pela distributividade escalar sobre soma de escalares,
Como
no corpo, o lado esquerdo é
, logo
Somando em ambos os lados o inverso aditivo de
(isto é,
), obtemos
onde o
à esquerda é o vetor nulo em
. Assim,
Passo 3
Use agora a identidade do corpo
. Multiplicando por
e aplicando distributividade escalar sobre soma de escalares, temos
Como
, o lado esquerdo vale
, e
. Como vimos no passo anterior,
. Logo
Passo 4
A igualdade
diz que
é o inverso aditivo de
. Mas o inverso aditivo de
é, por definição,
e é único. Portanto