Prove por indução que
sumk=1^n x=n cdot x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando o método da indução matemática, que a soma de x de k = 1 até n é igual a n cdot x . Ou seja, queremos mostrar que:
sumk=1^n x = n cdot x
Para isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Soma de uma sequência: Aqui, estamos somando o mesmo valor x várias vezes.
  2. Indução matemática: Um método de prova que envolve dois passos principais: o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma sumk=1^n x. Isso significa que estamos somando o valor x repetidamente, começando de k = 1 até k = n . Como x é sempre o mesmo, essa soma é equivalente a adicionar x a si mesmo n vezes, o que dá n cdot x . Mas vamos provar isso de forma rigorosa usando indução.

Passo 3

Caso Base: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1 .
sumk=1^1 x = x
E, de acordo com a fórmula que queremos provar:
1 cdot x = x
Portanto, o caso base é verdadeiro porque x = x .

Passo 4

Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo n = k . Ou seja, assumimos que:
sumk=1^k x = k cdot x
Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para n = k , então também será verdade para n = k + 1 .
Calculando a soma para n = k + 1 :
sumk=1^k+1 x = (sumk=1^k x) + x
Pela nossa suposição indutiva:
= k cdot x + x = (k + 1) cdot x
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para n = k , então também é verdadeira para n = k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que:
sumk=1^n x = n cdot x

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