Prove por indução que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando o método da indução matemática, que a soma de
de
até
é igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Soma de uma sequência: Aqui, estamos somando o mesmo valor
várias vezes. - Indução matemática: Um método de prova que envolve dois passos principais: o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma
. Isso significa que estamos somando o valor
repetidamente, começando de
até
. Como
é sempre o mesmo, essa soma é equivalente a adicionar
a si mesmo
vezes, o que dá
. Mas vamos provar isso de forma rigorosa usando indução.
Passo 3
Caso Base: Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
E, de acordo com a fórmula que queremos provar:
Portanto, o caso base é verdadeiro porque
.
Passo 4
Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum inteiro positivo
. Ou seja, assumimos que:
Agora, precisamos mostrar que, se isso é verdade para
, então também será verdade para
.
Calculando a soma para
:
Pela nossa suposição indutiva:
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que: