Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz das seguintes funções no intervalo especificado.
(a) f(x)=x^4+x-3,[1,2]
(b) f(x)=x-cos (x),[0,1]

Passo 1

O enunciado pede que usemos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que cada função dada tem pelo menos uma raiz no intervalo especificado. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. Mostrar que a função é contínua no intervalo.
  2. Avaliar a função nas extremidades e verificar mudança de sinal, o que garante, pelo TVI, a existência de uma raiz.

Passo 2

Para (a), considere
f(x)=x^4+x-3, [1,2]
Como f é polinômio, ela é contínua em R e em particular em [1,2]. Agora calculemos os valores nas extremidades:
f(1)=1^4+1-3=-1,
f(2)=2^4+2-3=16+2-3=15
Observamos que f(1)=-1<0 e f(2)=15>0. Como há mudança de sinal em [1,2] e f é contínua, o TVI garante a existência de cin(1,2) tal que
f(c)=0

Passo 3

Para (b), considere
f(x)=x-cos(x), [0,1]
A função cos(x) é contínua em R e x também, logo f é contínua em [0,1]. Avaliamos nas bordas:
f(0)=0-cos(0)=0-1=-1,
f(1)=1-cos(1)
Sabendo que cos(1)approx0,54, segue que f(1)approx1-0,54=0,46>0. Assim f(0)<0 e f(1)>0. Pela continuidade de f e mudança de sinal em [0,1], o TVI assegura a existência de cin(0,1) com
f(c)=0

Resposta

Em ambos os casos existe pelo menos uma raiz no intervalo dado:
(a) há cin(1,2) tal que f(c)=0.
(b) há cin(0,1) tal que f(c)=0.

Exercícios relacionados