Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz das seguintes funções no intervalo especificado.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que usemos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que cada função dada tem pelo menos uma raiz no intervalo especificado. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
- Mostrar que a função é contínua no intervalo.
- Avaliar a função nas extremidades e verificar mudança de sinal, o que garante, pelo TVI, a existência de uma raiz.
Passo 2
Para (a), considere
Como
é polinômio, ela é contínua em
e em particular em
. Agora calculemos os valores nas extremidades:
Observamos que
e
. Como há mudança de sinal em
e
é contínua, o TVI garante a existência de
tal que
Passo 3
Para (b), considere
A função
é contínua em
e
também, logo
é contínua em
. Avaliamos nas bordas:
Sabendo que
, segue que
. Assim
e
. Pela continuidade de
e mudança de sinal em
, o TVI assegura a existência de
com
Resposta
Em ambos os casos existe pelo menos uma raiz no intervalo dado:
(a) há tal que
.
(b) há tal que
.
(a) há
(b) há