Sendo
, mostre com detalhes que
identificando todas as propriedades da adição ou multiplicação utilizadas. O quadrado de
, denotado por
é definido como sendo igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
Sabemos que o quadrado de um número
é definido por
Vamos usar as propriedades comutativa, associativa e distributiva da adição e da multiplicação.
Passo 2
Pela definição de quadrado, escrevemos
Passo 3
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, ou seja,
com
,
e
, obtemos
Passo 4
Voltamos a usar a distributiva para expandir cada termo:
Passo 5
Somando as duas expressões e usando a associatividade da adição (para agrupar quatro parcelas), fica
Passo 6
Pela comutatividade da multiplicação (
), reescrevemos
Passo 7
Por definição de multiplicação por
(isto é,
para todo
) e usando associatividade da adição, concluímos
Reconhecendo
como
, chega-se à forma final.