Sendo a, b in R, mostre com detalhes que (a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 identificando todas as propriedades da adição ou multiplicação utilizadas. O quadrado de x, denotado por x^2 é definido como sendo igual a x cdot x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,binR, vale
(a+b)^2 ;=; a^2 + 2ab + b^2
Sabemos que o quadrado de um número x é definido por
x^2 = xcdot x
Vamos usar as propriedades comutativa, associativa e distributiva da adição e da multiplicação.

Passo 2

Pela definição de quadrado, escrevemos
(a+b)^2 = (a+b)cdot(a+b)

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, ou seja,
(x+y)cdot z = xcdot z + ycdot z,
com x=a, y=b e z=(a+b), obtemos
(a+b)cdot(a+b)=acdot(a+b)+bcdot(a+b)

Passo 4

Voltamos a usar a distributiva para expandir cada termo:
acdot(a+b)=acdot a + acdot b,
bcdot(a+b)=bcdot a + bcdot b

Passo 5

Somando as duas expressões e usando a associatividade da adição (para agrupar quatro parcelas), fica
(a+b)^2 = acdot a + acdot b + bcdot a + bcdot b

Passo 6

Pela comutatividade da multiplicação ( bcdot a = acdot b), reescrevemos
acdot a + acdot b + bcdot a + bcdot b = acdot a + acdot b + acdot b + bcdot b

Passo 7

Por definição de multiplicação por 2 (isto é, 2p = p + p para todo pinR) e usando associatividade da adição, concluímos
acdot a + acdot b + acdot b + bcdot b = a^2 + 2,(acdot b) + b^2
Reconhecendo acdot b como ab, chega-se à forma final.

Resposta

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

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