Utilizando a regra de Cramer, determine x, y e z de forma que os vetores \tilde{\boldsymbol{u}}=U \boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V \boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W \boldsymbol{w} sejam ortogonais. Encontre os vetores unitários correspondentes para \tilde{\boldsymbol{u}}, \tilde{\boldsymbol{v}} e \tilde{\boldsymbol{w}}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(1,0,-2), \boldsymbol{v}=(1,3,1) e \boldsymbol{w}=(-1,1,1)
e as matrizes
Precisamos escolher x,y,z de modo que \tilde{\boldsymbol{u}}=U\boldsymbol{u}, \tilde{\boldsymbol{v}}=V\boldsymbol{v} e \tilde{\boldsymbol{w}}=W\boldsymbol{w}
sejam mutuamente ortogonais (produto interno zero) e depois normalizar cada um para obter o vetor unitário correspondente.
Passo 2
Calculemos primeiro cada vetor transformado:
Multiplicando U por \boldsymbol{u}:
Vamos aplicar a regra de Cramer a \displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-3&0\\\ 1&0&2\\\ 0&3&4\end{pmatrix}, \boldsymbol{b}=(1,14,5)^T.
O determinante de A é
\det A =3\,(0\cdot4-2\cdot3)-(-3)\,(1\cdot4-2\cdot0) =3\,( -6)+3\,(4) =-18+12=-6.