Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=16(x^3+x^2+1)(x^6+x^3+1)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=tfrac16(x^3+x^2+1)(x^6+x^3+1). Vamos usar as regras de derivada de constante, produto e potência.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares:
u(x)=x^3+x^2+1
e
v(x)=x^6+x^3+1
Assim, f(x)=tfrac16,u(x)v(x).

Passo 3

Usando a regra da potência (derivada de x^n é n x^n-1), calculamos:
u'(x)=3x^2+2x
e
v'(x)=6x^5+3x^2.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto junto com a constante tfrac16:
f'(x)=16l(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)r)

Passo 5

Substituindo u,u',v,v' e expandindo, obtemos
f'(x)=16l((3x^2+2x)(x^6+x^3+1)+(x^3+x^2+1)(6x^5+3x^2)r)

Passo 6

Expandindo os produtos, somando termos semelhantes e dividindo cada coeficiente por 6, chegamos à forma simplificada abaixo.

Resposta

f'(x)=32x^8+43x^7+2x^5+56x^4+x^2+13x

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