(Vunesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg , recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 \mathrm{~kg} por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, \mathbf{P}, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações fornecidas:
    • Peso inicial: 156 kg.
    • Perda de peso anunciada: até 2,5 kg por semana. Estamos supondo que essa perda realmente ocorre (ou seja, a cada semana a pessoa perde exatamente 2,5 kg).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Encontrar uma fórmula que expresse o peso mínimo P que a pessoa poderá atingir após n semanas.
    • (b) Calcular o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg.

Passo 2

Modelagem do problema (criar a fórmula). Vou explicar a ideia passo a passo:
  • Pense no peso como uma quantidade que diminui a cada semana sempre do mesmo valor 2,5 kg. Isso é um processo linear: a cada semana subtraímos 2,5 kg do peso anterior.
  • Se chamarmos de P(n) o peso após n semanas, então a mudança por semana é uma “taxa” constante igual a -2,5 kg/semana (negativa porque o peso diminui).
  • Isso leva a uma função afim (reta) da forma inicial mais taxa vezes n. Escrevendo em fórmula:
P(n)=156-2,5\,n
  • Observação sobre domínio: n representa número de semanas e, em contexto de semanas completas, consideramos n\in\{0,1,2,\ldots\}. A fórmula vale também para n real se quisermos, mas para o problema de semanas completas usamos inteiros não negativos.

Passo 3

Outra forma de ver (sequência aritmética), para fixar a ideia:
  • A sequência dos pesos semana a semana é uma progressão aritmética com primeiro termo a_0=156 e razão d=-2,5.
  • A fórmula geral do termo n-ésimo de uma progressão aritmética é a_n=a_0+n d.
  • Substituindo a_0=156 e d=-2,5 obtemos novamente:
P(n)=156-2,5\,n.
  • Exemplo numérico rápido para ver que faz sentido: P(1)=156-2,5=153,5 kg; P(2)=156-5,0=151,0 kg.

Passo 4

Resolver a pergunta (b): queremos o menor número inteiro n tal que o peso fique menor que 120 kg. Traduzimos isso para uma desigualdade usando a fórmula encontrada:
  • Escrevemos a condição:
P(n)<120
  • Substituindo P(n):
156-2,5\,n<120

Passo 5

Resolver a desigualdade passo a passo (explicando cada operação):
  • Primeiro subtrai-se 156 de ambos os lados para isolar o termo com n:
-2,5\,n<120-156
  • Calculando o lado direito:
-2,5\,n<-36
  • Agora dividimos ambos os lados por -2,5 para isolar n. Lembre-se da regra importante: ao dividir (ou multiplicar) uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Logo:
n>\frac{-36}{-2,5}
  • Calculando a fração (fazendo a divisão): -36\div -2,5=14,4. Então:
n>14,4

Passo 6

Interpretar o resultado e escolher número inteiro de semanas:
  • A desigualdade n>14,4 diz que qualquer n maior que 14,4 satisfaz a condição. Como n representa semanas completas, n deve ser um inteiro não negativo.
  • O menor inteiro que é maior que 14,4 é 15. Portanto a pessoa precisa permanecer pelo menos 15 semanas completas.
  • Verificação rápida:
    • Se n=14: \;P(14)=156-2,5\cdot 14=156-35=121 kg, que não é menor que 120.
    • Se n=15: \;P(15)=156-2,5\cdot 15=156-37,5=118,5 kg, que é menor que 120.
  • Assim 15 semanas é realmente o mínimo de semanas completas necessárias.

Resposta

P(n)=156-2,5\,n
15 semanas

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