(Vunesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg , recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até
por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo,
, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo,
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informações fornecidas:
- Peso inicial:
kg. - Perda de peso anunciada: até
kg por semana. Estamos supondo que essa perda realmente ocorre (ou seja, a cada semana a pessoa perde exatamente kg).
- Peso inicial:
- Perguntas do enunciado:
- (a) Encontrar uma fórmula que expresse o peso mínimo
que a pessoa poderá atingir após semanas. - (b) Calcular o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de
kg.
- (a) Encontrar uma fórmula que expresse o peso mínimo
Passo 2
Modelagem do problema (criar a fórmula). Vou explicar a ideia passo a passo:
- Pense no peso como uma quantidade que diminui a cada semana sempre do mesmo valor
kg. Isso é um processo linear: a cada semana subtraímos kg do peso anterior. - Se chamarmos de
o peso após semanas, então a mudança por semana é uma “taxa” constante igual a kg/semana (negativa porque o peso diminui). - Isso leva a uma função afim (reta) da forma inicial mais taxa vezes
. Escrevendo em fórmula:
- Observação sobre domínio:
representa número de semanas e, em contexto de semanas completas, consideramos . A fórmula vale também para real se quisermos, mas para o problema de semanas completas usamos inteiros não negativos.
Passo 3
Outra forma de ver (sequência aritmética), para fixar a ideia:
- A sequência dos pesos semana a semana é uma progressão aritmética com primeiro termo
e razão . - A fórmula geral do termo
-ésimo de uma progressão aritmética é . - Substituindo
e obtemos novamente:
- Exemplo numérico rápido para ver que faz sentido:
kg; kg.
Passo 4
Resolver a pergunta (b): queremos o menor número inteiro
tal que o peso fique menor que
kg. Traduzimos isso para uma desigualdade usando a fórmula encontrada:
- Escrevemos a condição:
- Substituindo
:
Passo 5
Resolver a desigualdade passo a passo (explicando cada operação):
- Primeiro subtrai-se
de ambos os lados para isolar o termo com :
- Calculando o lado direito:
- Agora dividimos ambos os lados por
para isolar . Lembre-se da regra importante: ao dividir (ou multiplicar) uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Logo:
- Calculando a fração (fazendo a divisão):
. Então:
Passo 6
Interpretar o resultado e escolher número inteiro de semanas:
- A desigualdade
diz que qualquer maior que satisfaz a condição. Como representa semanas completas, deve ser um inteiro não negativo. - O menor inteiro que é maior que
é . Portanto a pessoa precisa permanecer pelo menos semanas completas. - Verificação rápida:
- Se
: kg, que não é menor que . - Se
: kg, que é menor que .
- Se
- Assim
semanas é realmente o mínimo de semanas completas necessárias.