Sendo U=\mathbb{R}, verifique se as seguintes equações são equivalentes.
  • (1-x)-(x+1)+(x+3)+(2 x-1)=6
  • \frac{x}{3}+x-\frac{8}{15}=\frac{6 x}{5}

Passo 1

O enunciado dá o universo U=\mathbb{R} e pede para verificar se as duas equações abaixo são equivalentes (isto é, se têm o mesmo conjunto solução). O conteúdo envolvido é resolução de equações lineares em uma variável, e o método é encontrar as soluções de cada uma e compará-las.
(1 - x) - (x + 1) + (x + 3) + (2x - 1) = 6
\frac{x}{3} + x - \frac{8}{15} = \frac{6x}{5}

Passo 2

Para a primeira equação, expandimos e coletamos termos:
(1 - x) - (x + 1) + (x + 3) + (2x - 1) = 6
1 - x - x - 1 + x + 3 + 2x - 1 = 6
Agrupando os x:
(-x - x + x + 2x) + (1 - 1 + 3 - 1) = 6
x + 2 = 6
x = 4

Passo 3

Para a segunda equação, levamos tudo a um denominador comum ou multiplicamos por 15 para eliminar frações:
\frac{x}{3} + x - \frac{8}{15} = \frac{6x}{5}
Multiplicando ambos os lados por 15:
5x + 15x - 8 = 18x
20x - 8 = 18x
2x = 8
x = 4

Passo 4

Comparando os conjuntos solução de cada equação:
  • Primeira equação: solução \{4\}.
  • Segunda equação: solução \{4\}.
Como ambos têm exatamente a mesma solução \{4\}, concluímos que são equivalentes em U=\mathbb{R}.

Resposta

As duas equações são equivalentes, pois ambas têm como única solução x=4.

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