Prove que P=A(A^T A)^-1 A^T é simétrica calculando P^T. Lembre-se que a inversa da transposta é a transposta da inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
P = A,(A^TA)^-1A^T
é simétrica, ou seja, que P^T=P. Vamos usar duas propriedades básicas de transposição de matrizes:
  1. (MN)^T=N^TM^T.
  2. l(M^-1r)^T=(M^T)^-1.

Passo 2

Aplicando a transposição em P e usando (MN)^T=N^TM^T repetidamente, temos
P^T =l(A,(A^TA)^-1A^Tr)^T =(A^T)^T,l((A^TA)^-1r)^T,A^T = A,l((A^TA)^-1r)^T,A^T

Passo 3

Note que A^TA é simétrica, pois
(A^TA)^T = A^T,(A^T)^T = A^TA
Logo, pela propriedade da inversa da transposta,
l((A^TA)^-1r)^T =l((A^TA)^Tr)^-1 =(A^TA)^-1

Passo 4

Substituindo esse resultado em P^T do Passo 2, obtemos
P^T = A,(A^TA)^-1,A^T = P
Portanto, P é simétrica.

Resposta

P^T=P, logo P é simétrica.

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