Multiplique a matriz
por ela mesma. Cancele para provar que
. Explique por que
sempre é igual a
: O vetor
está no espaço coluna de
, então sua projeção nesse espaço coluna é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
,
valem
valem
-
, -
para todo vetor .
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: manipular produtos de matrizes, usar queé invertível e entender projeções em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro escrevemos o quadrado de
:
Passo 3
Como
é invertível, temos
Substituindo na expressão de
, obtemos
Passo 4
Concluímos que
,
ou seja, é idempotente. Geometricamente, isso significa que
projeta qualquer vetor sobre o espaço coluna de
.
ou seja,
Passo 5
Para qualquer vetor
, o produto
já está no espaço coluna de
. Projetar de novo esse vetor no mesmo espaço não altera nada, então