Multiplique a matriz P=A(A^T A)^-1 A^T por ela mesma. Cancele para provar que P^2=P. Explique por que P(P b) sempre é igual a P b: O vetor P b está no espaço coluna de A, então sua projeção nesse espaço coluna é

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
P = Al(A^TAr)^-1A^T,
valem
  1. P^2=P,
  2. P(P,b)=P,b para todo vetor b.
    O conteúdo aqui é Álgebra Linear: manipular produtos de matrizes, usar que A^TA é invertível e entender projeções em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro escrevemos o quadrado de P:
P^2 = P,P = A,(A^TA)^-1A^T ;;A,(A^TA)^-1A^T

Passo 3

Como (A^TA) é invertível, temos
(A^TA)^-1A^TA = I
Substituindo na expressão de P^2, obtemos
P^2 = A;l[(A^TA)^-1A^TAr];(A^TA)^-1A^T = A,I,(A^TA)^-1A^T = A,(A^TA)^-1A^T = P

Passo 4

Concluímos que
P^2=P,
ou seja, P é idempotente. Geometricamente, isso significa que P projeta qualquer vetor sobre o espaço coluna de A.

Passo 5

Para qualquer vetor b, o produto P,b já está no espaço coluna de A. Projetar de novo esse vetor no mesmo espaço não altera nada, então
P(P,b) = P,b

Resposta

P^2=P e P(P,b)=P,b.

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