Determine o volume gerado pela revoluçâo em torno do eixo
, da região sob a curva,
, no intervalo
. Represente graficamente a figurada gerada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que é formado quando a área sob a curva
, entre
e
, é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a gente gira uma função ao redor do eixo
, cada pedacinho da área perpendicular ao eixo forma um disco. O volume desse disco pode ser calculado usando a fórmula
, onde
é o raio do disco (neste caso,
) e
é a espessura do disco.
Passo 3
Para encontrar o volume total, precisamos somar o volume de todos esses discos ao longo do intervalo de
a
. Isso é feito através de uma integral. A fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos expandir a expressão
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral completa fica:
Passo 6
Vamos substituir os valores de
e
na expressão integrada:
Para
:
Para
:
Passo 7
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores obtidos:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume gerado é aproximadamente
unidades cúbicas.