Determine o volume gerado pela revoluçâo em torno do eixo x, da região sob a curva, y=x^2+1, no intervalo x in[1,4]. Represente graficamente a figurada gerada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que é formado quando a área sob a curva , entre e , é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando a gente gira uma função ao redor do eixo , cada pedacinho da área perpendicular ao eixo forma um disco. O volume desse disco pode ser calculado usando a fórmula , onde é o raio do disco (neste caso, ) e é a espessura do disco.

Passo 3

Para encontrar o volume total, precisamos somar o volume de todos esses discos ao longo do intervalo de V = pi integral1^4 (x^2 + 1)^2 , dx a . Isso é feito através de uma integral. A fórmula fica assim:

Passo 4

Vamos expandir a expressão (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 para facilitar a integração:
V = pi integral1^4 (x^4 + 2x^2 + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^4 , dx = x^55
integral 2x^2 , dx = 2x^33
integral 1 , dx = x
Portanto, a integral completa fica:
V = pi [ x^55 + 2x^33 + x ]1^4

Passo 6

Vamos substituir os valores de 4^55 + 2 cdot 4^33 + 4 = 10245 + 1283 + 4 e 1^55 + 2 cdot 1^33 + 1 = 15 + 23 + 1 na expressão integrada:
Para :
Para :

Passo 7

Calculando os valores:
Para 10245 = 204,8 :
1283 approx 42,6667
204,8 + 42,6667 + 4 = 251,4667
15 = 0,2
Para 23 approx 0,6667 :
0,2 + 0,6667 + 1 = 1,8667

Passo 8

Subtraindo os valores obtidos:
251,4667 - 1,8667 = 249,6
Multiplicando pelo V = pi times 249,6 approx 784 unidades cúbicas :
ú

Resposta

O volume gerado é aproximadamente unidades cúbicas.

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