Prove que a soma dos ângulos internos de todas as faces de poliedro convexo é igual a S=(2 A- 2F) \pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo com F faces e A arestas, a soma S de todos os ângulos internos das faces satisfaz
S = (2A - 2F)\,\pi.
Vamos usar dois fatos básicos: (i) a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)\pi; (ii) em um poliedro convexo cada aresta pertence exatamente a duas faces.

Passo 2

Seja a face i um polígono de n_i lados. A soma dos ângulos internos dessa face é
\text{soma}_i = (n_i - 2)\,\pi.
Somando sobre todas as F faces,
S = \sum_{i=1}^{F} \text{soma}_i = \sum_{i=1}^{F} (n_i - 2)\,\pi = \Bigl(\sum_{i=1}^{F} n_i - 2F\Bigr)\pi.

Passo 3

Cada aresta é lado de exatamente duas faces, logo, ao somar n_i sobre todas as faces, contamos cada aresta duas vezes. Portanto,
\sum_{i=1}^{F} n_i = 2A.

Passo 4

Substituindo \sum_{i=1}^{F} n_i = 2A em S = (\sum n_i - 2F)\pi, obtemos
S = (2A - 2F)\,\pi,
como era para provar.

Resposta

S = (2A - 2F)\,\pi.

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