Prove que a soma dos ângulos internos de todas as faces de poliedro convexo é igual a
2F)
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num poliedro convexo com
faces e
arestas, a soma
de todos os ângulos internos das faces satisfaz
Vamos usar dois fatos básicos: (i) a soma dos ângulos internos de um polígono de
lados é
; (ii) em um poliedro convexo cada aresta pertence exatamente a duas faces.
Passo 2
Seja a face
um polígono de
lados. A soma dos ângulos internos dessa face é
Somando sobre todas as
faces,
Passo 3
Cada aresta é lado de exatamente duas faces, logo, ao somar
sobre todas as faces, contamos cada aresta duas vezes. Portanto,
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
como era para provar.